Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional. Use argumentos matemáticos e exemplos que…

Questão

Explique como você pode demonstrar que v2 é um número irracional. Use argumentos matemáticos e exemplos que sustentem sua resposta.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A demonstração de que v2 é irracional pode ser realizada por meio de uma prova por contradição. Suponha que v2 seja racional, então pode ser expresso como p/q, onde p e q são inteiros primos entre si. Elevando ao quadrado, 2 = p²/q² implica que p² = 2q². Assim, p² é par, logo p é par, o que implica que q também é par. Isso contradiz a suposição inicial de que p e q não têm fatores comuns. Portanto, v2 não pode ser expresso como uma fração e é irracional.

Explicação

A demonstração utiliza a técnica da prova por contradição, que é eficaz para mostrar que uma suposição inicial leva a um resultado impossível. Ao assumir que v2 é racional e chegar à conclusão de que p e q devem ser pares, a argumentação revela uma contradição com a definição de números primos entre si. Isso estabelece que v2 não pode ser expresso como uma fração, confirmando sua irracionalidade.

Raio-X da questão

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