Explique como você poderia demostrar a irracionalidade do número v2. Utilize conceitos matemáticos e suas…

Questão

Explique como você poderia demostrar a irracionalidade do número v2. Utilize conceitos matemáticos e suas etapas lógicas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A demonstração de que v2 é irracional pode ser realizada usando um argumento por contradição. Suponha que v2 é racional, o que implica que pode ser escrito na forma p/q, onde p e q são inteiros coprimos. Elevando ao quadrado, temos 2 = p²/q², ou seja, p² = 2q². Isso implica que p² é par, logo p também é par. Se p = 2k, então 2k² = 2q², levando a q também ser par, o que contradiz a suposição que p e q eram coprimos. Portanto, v2 é irracional.

Explicação

A demonstração utiliza um método de contradição, que é uma técnica comum em matemática para provar a irracionalidade. Ao assumir que a raiz quadrada de 2 é racional e chegar a uma contradição sobre a paridade de p e q, a lógica mostra que a suposição inicial não pode ser verdadeira. Assim, conclui-se que a raiz quadrada de 2 não pode ser expressa como uma fração de inteiros, confirmando sua irracionalidade.

Raio-X da questão

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