Uma cartolina quadrada tem lado de 1 cm. Qual é a medida da diagonal? Ela é racional ou irracional?
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma cartolina quadrada tem lado de 1 cm. Qual é a medida da diagonal? Ela é racional ou irracional?
- A) 2 cm e racional
- B) 0,5 cm e racional
- C) 1 cm e racional
- D) √3 cm e irracional
- E) √2 cm e irracional
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A diagonal de um quadrado divide a figura em dois triângulos retângulos, cujos catetos são os dois lados do quadrado, medindo 1 cm cada. A diagonal é a hipotenusa desses triângulos.
- Pelo teorema de Pitágoras, d^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2.
- Logo, d = raiz de 2 cm, que é aproximadamente 1,414 cm. A medida da diagonal é, portanto, raiz de 2 cm.
- Um número é racional quando pode ser escrito como fração de inteiros p/q, com q diferente de zero. Como 2 não é quadrado perfeito, raiz de 2 não é exata nem fracionária: é um número irracional (a demonstração clássica usa o argumento de que p^2 = 2q^2 levaria a uma contradição com a fração em forma irredutível). Logo, a diagonal é irracional.
- Por que as outras estão erradas: A) 2 cm é o dobro do lado, o que não corresponde à diagonal; B) 0,5 cm é metade do lado, medida menor que a própria cartolina; C) 1 cm é igual ao lado, mas a diagonal é sempre maior que o lado; D) raiz de 3 cm não resulta de Pitágoras, pois a soma correta dos quadrados dos catetos é 2, não 3.
- Conclusão: a alternativa correta é a E, em conformidade com o gabarito oficial. A diagonal mede raiz de 2 cm e é irracional.
💡 Dica: Calcule a diagonal usando a fórmula d = l√2.
Alternativa por alternativa
Acredita que a diagonal é igual ao dobro do lado, ou seja, soma os dois lados, sem usar a relação do triângulo retângulo formado pela diagonal.
Por que engana: Confundir a medida da diagonal com a medida do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
Supõe que a diagonal seja a metade do lado, confundindo a diagonal com um segmento menor do que a própria figura.
Imagina que a diagonal tem a mesma medida do lado do quadrado, por intuição visual, e conclui que, por ser 1 cm inteiro, é racional.
Aplica mal o teorema de Pitágoras, somando 1 + 1 + 1 ou usando 1^2 + 1^2 + 1 em vez de 1^2 + 1^2, e chega a raiz de 3; acerta a irracionalidade, mas erra o valor.
A diagonal é √(1² + 1²) = √2 cm. Como √2 não pode ser escrito como fração, ele é irracional.
Raio-X da questão
diagonal do quadrado
avaliacao
teorema de pitagoras · propriedades do quadrado
Revisar a fórmula da diagonal de um quadrado.
Confundir a medida da diagonal com a medida do lado do quadrado, escolhendo a alternativa A.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
abstrato
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