Semelhança de triângulos: exercícios comentados para avaliar

Sempre que chega a unidade de geometria plana, eu sinto o mesmo frio na barriga: os alunos decoram os critérios de congruência, mas na hora de aplicar em uma questão de prova travam. Foi assim na minha turma do 9º ano no semestre passado, quando percebi que o problema não era o conteúdo em si, e sim a falta de exercícios bem comentados para treinar a leitura dos dados.

Depois de muitas aulas de revisão improvisadas, passei a montar listas com enunciado, alternativas e explicação para cada distrator. Nesse processo, usei o GeraProva para gerar e organizar as questões, e isso me poupou horas de digitação. Abaixo, reúno seis questões reais da nossa base, com gabarito comentado, para você usar direto na sua aula.

O que é semelhança de triângulos?

Dois triângulos são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes iguais e os lados correspondentes proporcionais. Isso significa que um pode ser uma versão ampliada ou reduzida do outro, sem perder a forma. Já a congruência é um caso particular: os triângulos têm a mesma forma e o mesmo tamanho, ou seja, a razão entre os lados correspondentes é igual a 1. Na prática, o aluno precisa aprender a identificar quais elementos ele tem disponíveis e qual critério usar, e é isso que os exercícios a seguir treinam.

Quais são os critérios de congruência de triângulos?

Os três critérios clássicos são LLL (três lados correspondentes iguais), LAL (dois lados e o ângulo compreendido entre eles iguais) e ALA (dois ângulos e o lado entre eles iguais). Eles garantem que, com essas informações, não há outra forma possível para o triângulo. Em sala, eu costumo mostrar que o ângulo precisa estar entre os dois lados conhecidos; se ele estiver fora dessa posição, o critério não vale. Esse detalhe aparece em muitas questões de prova.

Como resolver um exercício de semelhança passo a passo?

Minha rotina na lousa é sempre a mesma: primeiro, eu anoto as medidas dadas; depois, identifico quais lados são correspondentes; em seguida, calculo as razões entre eles; por fim, verifico se bate com algum critério. Quando a questão envolve perímetro, o caminho é somar os lados de cada figura e igualar as expressões. Essa sequência evita o erro mais comum, que é comparar lados que não correspondem entre si.

Quais questões usar para avaliar a aprendizagem?

Para avaliar de forma justa, eu recomendo misturar níveis de Bloom: algumas questões de lembrança, outras de aplicação e algumas de análise. No GeraProva, cada questão vem com código BNCC, nível cognitivo e tipo de raciocínio, o que ajuda a equilibrar a prova. Se você ainda não usa a ferramenta, vale fazer o cadastro grátis e testar com a sua turma.

Questões prontas com gabarito comentado

Questão 1: congruência de triângulos em malha quadriculada

— Professora, como sei se dois triângulos de um desenho em malha quadriculada são exatamente iguais? — questionou Ana ao olhar para o caderno. O desenho mostrava o triângulo ABC com vértices em A(1,1), B(4,1) e C(1,4) e o triângulo DEF com vértices em D(6,2), E(6,5) e F(3,2). Ana mediu os comprimentos: AB=3, AC=3 e BC=raiz quadrada de 18; DE=3, DF=3 e EF=raiz quadrada de 18. Ela sugeriu usar sobreposição para confirmar que um triângulo coincide exatamente com o outro.

Analise o texto-base e determine se os triângulos ABC e DEF são congruentes, conforme os comprimentos de lados apresentados.

• ✅ A) Considerar que os triângulos são congruentes, pois possuem os mesmos comprimentos de lado — a congruência é garantida quando os três pares de lados correspondentes são iguais, conforme medido no texto-base.
• ❌ B) Considerar que os triângulos não são congruentes porque estão em posições diferentes no plano — a congruência independe da posição ou orientação; figuras podem ser trasladadas ou giradas.
• ❌ C) Considerar que os triângulos não são congruentes por não compartilharem um vértice — a congruência não exige vértices coincidentes; exige apenas igualdade de lados e ângulos.
• ❌ D) Considerar que os triângulos são congruentes apenas pelas áreas iguais — a igualdade de área não garante congruência; figuras podem ter mesma área e formatos diferentes.
• ❌ E) Considerar que os triângulos não são congruentes porque um é reflexão do outro — uma reflexão produz uma figura congruente; espelhamento mantém comprimentos e ângulos.

Dificuldade: média | Bloom: Analisar | BNCC: EF06MA19. Dica de resolução: compare os comprimentos dos lados para verificar congruência. Conceito central: congruência de triângulos. Conceito para revisão: critérios de congruência e propriedades de figuras geométricas.

Questão 2: critério LLL em um quadrilátero com diagonal

Um estudante construiu um quadrilatero com uma diagonal AC. Ao medir os dois triangulos formados, percebeu que todos os lados correspondentes coincidiam.

— Que criterio explica a congruencia desses triangulos?

• ✅ A) O critério de igualdade dos três lados correspondentes (LLL), pois os dois triângulos têm as mesmas medidas em todos os lados. — o enunciado informa que todos os lados correspondentes coincidem; quando os três lados de um triângulo têm as mesmas medidas que os de outro, os triângulos são congruentes pelo critério LLL.
• ❌ B) O critério de serem triângulos congruentes, pois, como eles coincidem, então seus lados ficam com medidas iguais. — o erro está em inverter a explicação: a igualdade dos lados é a condição usada para concluir a congruência, não o contrário.
• ❌ C) O critério de terem a mesma diagonal AC, pois a diagonal aparece nos dois triângulos formados pelo quadrilátero. — AC é um lado comum, mas isso sozinho não garante congruência; é preciso comparar os três lados correspondentes.
• ❌ D) O critério de toda diagonal de quadrilátero, pois qualquer diagonal sempre divide a figura em triângulos congruentes. — generalização indevida: só há congruência se houver condições específicas, como a igualdade dos lados correspondentes.
• ❌ E) O critério de dois lados e o ângulo entre eles (LAL), pois basta comparar duas medidas e o ângulo formado. — o enunciado fala de todos os lados coincidentes, não de dois lados e do ângulo entre eles.

Dificuldade: fácil | Bloom: Compreender | BNCC: EF07MA25. Dica de resolução: compare as medidas dos lados correspondentes com os critérios de congruência. Conceito central: congruência pelo critério LLL. Conceito para revisão: critérios LLL, LAL e ALA.

Questão 3: triângulo 3-4-5 e triângulos congruentes na malha

Descrição de cena: Em um software de desenho, um usuário utiliza uma malha quadriculada para traçar triângulos retos. O primeiro triângulo possui vértices nos pontos A(0,0), B(4,0) e C(0,3), formando um triângulo 3-4-5. Em seguida, são criados quatro novos triângulos pelos seguintes conjuntos de vértices: T1: D(1,2), E(5,2), F(1,5); T2: G(0,0), H(3,0), I(0,5); T3: J(2,1), K(2,4), L(5,1); T4: M(6,6), N(10,6), O(6,8).

Analise as distâncias dos lados dos quatro triângulos citados e identifique qual deles é congruente ao triângulo ABC.

• ❌ A) Nenhum dos triângulos listados — já existe ao menos um triângulo congruente (T1), portanto esta opção está incorreta.
• ✅ B) O triângulo T1 — T1 tem catetos DE=4 e DF=3, mesmos comprimentos de AB e AC, logo é congruente por translação.
• ❌ C) O triângulo T2 — T2 tem catetos GH=3 e GI=5, diferentes de 3 e 4; não forma triângulo 3-4-5.
• ❌ D) O triângulo T4 — T4 tem catetos MN=4 e MO=2; os valores 4 e 2 não correspondem a 3 e 4.
• ❌ E) O triângulo T3 — T3 possui catetos JK=3 e JL=3, formando um 3-3-√18, que não é 3-4-5.

Dificuldade: média | Bloom: Aplicar | BNCC: EF06MA19. Dica de resolução: compare os comprimentos correspondentes dos catetos e da hipotenusa. Conceito central: congruência de triângulos retângulos. Conceito para revisão: determinar distâncias na malha e comparar lados.

Questão 4: valor de x e semelhança em duas estruturas triangulares

Em uma oficina de maquetes, foram construídas duas estruturas triangulares. Na primeira, os lados correspondentes aos lados AB, BC e AC medem, respectivamente, 2x cm, 3x cm e 4x cm. Na segunda, os lados correspondentes aos lados DE, EF e DF medem 14 cm, 21 cm e 28 cm. Por uma exigência do projeto, os perímetros das duas estruturas devem ser iguais. Considerando essa correspondência entre os lados, avalie também a relação de semelhança entre os triângulos.

Determine o valor de x e verifique se os triângulos ABC e DEF são semelhantes, justificando sua conclusão com base nas medidas dos lados.

• ✅ A) x = 7; os triângulos ABC e DEF são semelhantes e, como possuem lados correspondentes de mesma medida, são congruentes. — o perímetro de ABC é 9x e o de DEF é 63 cm; logo 9x = 63 e x = 7. Os lados de ABC passam a medir 14, 21 e 28 cm, iguais aos de DEF, com razões todas iguais a 1.
• ❌ B) x = 7; não é possível verificar a semelhança, pois seriam necessários os ângulos correspondentes. — a semelhança pode ser verificada pelas medidas dos três lados correspondentes (LLL), sem calcular os ângulos.
• ❌ C) x = 6; os triângulos não são semelhantes, pois seus lados correspondentes têm medidas diferentes. — resolução incorreta: 9 vezes 6 é 54, e não 63.
• ❌ D) x = 7; os triângulos são semelhantes, mas não são congruentes, pois pertencem a estruturas diferentes. — a finalidade das estruturas não interfere na congruência; com x = 7 os três lados correspondentes são iguais, logo são congruentes.
• ❌ E) x = 9; os triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a 9. — a equação correta é 9x = 63; para x = 9 os lados de ABC seriam 18, 27 e 36, que não são proporcionais aos de DEF com razão 9.

Dificuldade: média | Bloom: Aplicar | BNCC: EF09MA12. Dica de resolução: calcule o valor de x e compare as razões dos lados. Conceito central: semelhança de triângulos. Conceito para revisão: propriedades de triângulos semelhantes e proporções.

Questão 5: critério LAL de semelhança em uma cobertura

Técnicos restauram a cobertura triangular de um quiosque histórico e precisam verificar se uma peça nova manterá o mesmo formato da peça original. Na peça original, os lados que partem do vértice X medem 6 cm e 8 cm, e o ângulo entre eles mede 50 graus. Na nova peça, os lados correspondentes que partem de X' medem 9 cm e 12 cm, e o ângulo entre eles também mede 50 graus. Os demais lados não foram medidos, pois ficarão encobertos após a instalação.

Analise as medidas apresentadas e identifique a condição que permite concluir que as duas peças triangulares têm o mesmo formato, em tamanhos diferentes.

• ❌ A) A igualdade de dois lados correspondentes, sem verificar suas proporções — erro cognitivo: triângulos semelhantes podem ter lados de tamanhos diferentes, então é preciso proporcionalidade.
• ❌ B) A proporcionalidade de dois lados não correspondentes e a igualdade de um ângulo qualquer — as relações precisam envolver elementos correspondentes e o ângulo compreendido.
• ❌ C) A proporcionalidade de dois lados correspondentes, sem comparar o ângulo formado por eles — sem o ângulo compreendido, podem existir triângulos diferentes.
• ✅ D) A proporcionalidade de dois lados correspondentes e a igualdade do ângulo formado por eles — as razões 6/9 e 8/12 são iguais e os ângulos compreendidos medem 50 graus; essa condição LAL garante a semelhança.
• ❌ E) A igualdade de um lado correspondente e do ângulo formado por lados quaisquer — um lado e um ângulo não determinam necessariamente o formato.

Dificuldade: fácil | Bloom: Lembrar | BNCC: EF09MA12. Dica de resolução: use a propriedade de semelhança pelo critério LAL. Conceito central: semelhança LAL. Conceito para revisão: estude o critério LAL para triângulos.

Questão 6: critério LAL de congruência em placas triangulares

— O encaixe das duas estruturas precisa ser idêntico para que a cobertura do palco não fique inclinada — explicou a técnica responsável pela montagem de uma feira cultural.

Cada estrutura é formada por uma placa triangular. Na primeira placa, foram medidos dois lados de 2,4 m e 3,1 m, que se encontram em um ângulo de 58 graus. Na segunda, os lados correspondentes têm essas mesmas medidas e também formam um ângulo de 58 graus. Como as placas serão cortadas em oficinas diferentes, a técnica precisa justificar geometricamente que elas terão a mesma forma e o mesmo tamanho, sem depender da medição do terceiro lado.

Identifique o critério de congruência que permite justificar que as duas placas triangulares descritas no texto-base são congruentes.

• ❌ A) O critério ALA, pois são conhecidos dois ângulos e um lado — erro de leitura: há apenas um ângulo informado em cada placa.
• ❌ B) O critério AA, pois ângulos iguais garantem o mesmo tamanho — dois ângulos iguais garantem apenas semelhança, não o mesmo tamanho.
• ✅ C) O critério LAL, pois são conhecidos dois lados e o ângulo entre eles — as placas têm dois lados correspondentes iguais e o ângulo compreendido entre eles com a mesma medida.
• ❌ D) O critério LLL, pois seriam necessárias as medidas dos três lados — o texto fornece dois lados e o ângulo entre eles, dados suficientes para LAL.
• ❌ E) O teorema de Pitágoras, pois todo triângulo pode ter lados calculados — o teorema se aplica apenas a triângulos retângulos, condição não apresentada.

Dificuldade: fácil | Bloom: Compreender. Dica de resolução: observe quais dois lados e qual ângulo foram informados. Conceito central: congruência pelo critério LAL. Conceito para revisão: identifique a posição do ângulo em relação aos lados conhecidos.

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