Em uma oficina de maquetes, foram construídas duas estruturas triangulares. Na primeira, os lados…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma oficina de maquetes, foram construídas duas estruturas triangulares. Na primeira, os lados correspondentes aos lados AB, BC e AC medem, respectivamente, 2x cm, 3x cm e 4x cm. Na segunda, os lados correspondentes aos lados DE, EF e DF medem 14 cm, 21 cm e 28 cm. Por uma exigência do projeto, os perímetros das duas estruturas devem ser iguais. Considerando essa correspondência entre os lados, avalie também a relação de semelhança entre os triângulos. Determine o valor de x e verifique se os triângulos ABC e DEF são semelhantes, justificando sua conclusão com base nas medidas dos lados.
- A) x = 7; os triângulos ABC e DEF são semelhantes e, como possuem lados correspondentes de mesma medida, são congruentes.
- B) x = 7; não é possível verificar a semelhança, pois seriam necessários os ângulos correspondentes.
- C) x = 6; os triângulos não são semelhantes, pois seus lados correspondentes têm medidas diferentes.
- D) x = 7; os triângulos são semelhantes, mas não são congruentes, pois pertencem a estruturas diferentes.
- E) x = 9; os triângulos são semelhantes, com razão de semelhança igual a 9.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o perímetro da primeira estrutura somando os lados AB, BC e AC: 2x + 3x + 4x = 9x cm. Passo 2: Calcule o perímetro da segunda estrutura somando DE, EF e DF: 14 + 21 + 28 = 63 cm. Passo 3: Como os perímetros devem ser iguais, 9x = 63, logo x = 7. Passo 4: Substitua x = 7 nas medidas da primeira estrutura: AB = 14 cm, BC = 21 cm e AC = 28 cm. Passo 5: Compare os lados correspondentes: AB = DE = 14 cm, BC = EF = 21 cm e AC = DF = 28 cm. Passo 6: Como os três pares de lados correspondentes são iguais, os triângulos ABC e DEF são congruentes pelo critério LLL (lado, lado, lado). Passo 7: Todo par de triângulos congruentes também é semelhante, com razão de semelhança igual a 1. Logo, os triângulos são semelhantes e congruentes, o que confirma a alternativa A. Passo 8: Por que as outras estão erradas: a alternativa B está errada porque a semelhança pode ser verificada só pelos lados, quando eles são proporcionais, sem precisar dos ângulos. A alternativa C está errada porque x = 6 não é o valor que iguala os perímetros, e os lados já são correspondentes e iguais. A alternativa D está errada porque os triângulos são congruentes, já que os lados correspondentes são iguais, independentemente de pertencerem a estruturas diferentes. A alternativa E está errada porque x = 9 não satisfaz 9x = 63 e a razão de semelhança é 1, não 9.
💡 Dica: Calcule o valor de x e compare as razões dos lados.
Alternativa por alternativa
O perímetro de ABC é 2x + 3x + 4x = 9x. O perímetro de DEF é 14 + 21 + 28 = 63 cm. Como os perímetros são iguais, 9x = 63, portanto x = 7. Assim, os lados de ABC medem 14 cm, 21 cm e 28 cm, exatamente as mesmas medidas dos lados correspondentes de DEF. Logo, as razões entre os lados correspondentes são 1, 1 e 1: os triângulos são semelhantes e, mais especificamente, congruentes pelo caso LLL.
O aluno acredita que a semelhança só pode ser verificada com a informação sobre os ângulos, ignorando o critério LLL, em que lados proporcionais já garantem a semelhança.
Por que engana: Confundir a relação de semelhança com a congruência, acreditando que triângulos com lados proporcionais são congruentes.
O aluno calcula mal o perímetro, chegando a 9x = 54 e x = 6, e depois conclui que os triângulos não são semelhantes porque os lados têm medidas diferentes, sem considerar a correspondência entre eles.
O aluno encontra x = 7 corretamente, mas acredita que triângulos com todos os lados iguais não podem ser congruentes só porque pertencem a estruturas diferentes, confundindo a origem física com a igualdade geométrica.
O aluno faz uma divisão errada, obtendo x = 9 a partir de 63 dividido por 7, e interpreta incorretamente a razão de semelhança como 9, sem comparar as medidas reais dos lados.
Raio-X da questão
semelhança de triângulos
avaliacao
semelhança de triângulos · proporções entre lados
Revisar as propriedades de triângulos semelhantes e cálculo de proporções.
Confundir a relação de semelhança com a congruência, acreditando que triângulos com lados proporcionais são congruentes.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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