Probabilidade de eventos compostos: o erro de ignorar a reposição

Lembro bem da aula em que propus um sorteio com duas urnas e uma moeda. Um aluno levantou a mão, convencido de que a segunda retirada tinha as mesmas chances da primeira, mesmo depois de eu ter tirado uma bola vermelha e não ter devolvido. Ele fez as contas com dez bolas no total, como se a urna não tivesse mudado. Quando perguntei o que tinha acontecido com a bola retirada, ele deu de ombros e disse que ela 'não contava mais'. Essa cena se repete com outras turmas, em outras escolas, e é por isso que escrevo este guia.

Também já vi a situação inversa: alunos que acertam tudo quando a bola volta para a urna e erram tudo quando ela não volta, sem perceber que o problema é o mesmo. Probabilidade de eventos compostos é justamente o ponto em que a reposição decide o resultado. Este texto reúne o que aprendi organizando sete questões validadas, com dados pedagógicos reais de cada uma, para mostrar onde a turma costuma tropeçar e como diagnosticar isso antes da prova.

O que é probabilidade de eventos compostos, explicado para o professor

Um evento composto é aquele formado por duas ou mais etapas, como lançar uma moeda e depois um dado, ou retirar duas bolas de uma urna. Para calcular sua probabilidade, contamos os resultados possíveis de cada etapa e multiplicamos as chances quando as etapas são independentes, isto é, quando o resultado de uma não altera a outra. Quando a primeira etapa muda a composição do conjunto, como numa retirada sem reposição, os eventos são dependentes e a segunda probabilidade precisa ser recalculada.

No currículo, o tema aparece em anos diferentes com profundidade crescente. No 3º ano, o foco está na comparação de chances em sorteios simples, na linha da habilidade EF03MA25. No 5º ano, os alunos começam a combinar resultados de duas etapas, como indica a habilidade EF05MA22, e também comparam probabilidades de pares de resultados, conforme EF05MA23. No 6º ano, a habilidade EF06MA30 pede a contagem de resultados e a comparação de eventos. No 7º ano, a probabilidade de eventos sucessivos, com e sem reposição, aparece na habilidade EF07MA34.

Na prática, o conceito exige que o aluno enxergue o experimento inteiro antes de calcular. Quem olha só para a primeira etapa, ou só para a segunda, perde a visão do todo. Por isso, o primeiro passo em qualquer questão deve ser listar o que acontece em cada etapa e o que muda depois de cada uma.

O que o aluno precisa saber antes?

Nas fichas das questões validadas, os pré-requisitos se repetem com frequência: cálculo de probabilidade simples, comparação de frações, multiplicação de frações, noção de resultados possíveis e de eventos equiprováveis. Em quatro das sete questões, o pré-requisito explícito é a contagem de resultados ou a razão entre casos favoráveis e possíveis. Isso significa que a dificuldade de composição frequentemente é, na verdade, uma dificuldade anterior de contagem.

Para verificar se a turma tem essa base, uma boa estratégia é apresentar uma questão de uma etapa só antes de qualquer evento composto. Se a maioria dos alunos calcula corretamente a chance de sair vermelha numa urna com cinco vermelhas em dez bolas, a base está presente. Se muitos respondem 1/2 ou 5/3, o problema é anterior e precisa ser resolvido primeiro. Revisar probabilidade simples com exemplos de urnas e dados costuma destravar a turma.

Outra base necessária é a multiplicação de frações. Quando o aluno não entende por que 1/2 de 1/2 dá 1/4, ele não consegue justificar a multiplicação de probabilidades. Vale rever multiplicação de frações com a ideia de parte de um todo antes de apresentar a regra para eventos compostos.

Os erros mais comuns (e por que acontecem)

Ao cruzar os dados das sete questões, três erros aparecem de forma consistente. O primeiro e mais frequente é tratar retiradas sem reposição como se fossem independentes, mantendo o total original na segunda etapa. Em duas questões, o erro típico descrito é exatamente esse, e o distrator mais escolhido foi a alternativa que ignora a bola já retirada.

Ignorar a reposição e manter o total original

Esse erro acontece porque o aluno aprendeu que a probabilidade é casos favoráveis sobre casos possíveis e aplica a mesma fórmula com o mesmo denominador em todas as etapas. Ele não percebe que a urna mudou. Como intervir: peça que o aluno desenhe a urna antes e depois da primeira retirada, riscando a bola retirada. Quando ele vê nove bolas no segundo quadro, a ideia de dependência se torna concreta.

Confundir um resultado específico com o evento mais amplo

Em questões de comparação, muitos alunos escolhem o resultado mais 'bonito' ou mais específico, sem somar os pares que levam ao mesmo evento. Quando a pergunta é 'obter a mesma tarefa nas duas jogadas', o aluno pensa em uma tarefa só e não considera os três pares repetidos. Como intervir: liste todos os pares ordenados em uma tabela de dupla entrada e destaque os que atendem ao enunciado.

Esquecer que o resultado de uma etapa pode ser outro resultado possível

Em experimentos com moeda ou dado combinados a outro sorteio, alguns alunos consideram apenas o lado 'interessante' do resultado e esquecem o outro. A coroa da moeda, por exemplo, também é um resultado possível e tem peso na comparação. Como intervir: antes de calcular, peça que o aluno escreva o espaço amostral completo, mesmo que pareça excessivo.

Como ensinar passo a passo

A sequência que mais funciona nas minhas aulas começa com um experimento concreto. Uso uma urna de papel com bolas de duas cores e peço que os alunos retirem uma bola, anotem a cor e a devolvam. Depois, repito com a bola sem devolução. A diferença de resultados entre as duas rodadas abre a discussão sobre independência e dependência.

Na segunda etapa, transformo o experimento em tabela. Para eventos com duas etapas, a tabela de dupla entrada organiza os pares e permite visualizar que a soma das probabilidades de todos os pares dá um. Essa verificação ajuda o aluno a conferir o próprio raciocínio. Na terceira etapa, introduzo a dica de resolução que aparece nas fichas: calcular a probabilidade de cada resultado e comparar produtos, em vez de comparar apenas a quantidade de bolas de cada cor.

Só então apresento a fórmula de multiplicação, com a justificativa de que a probabilidade do segundo evento depende do primeiro quando não há reposição. Por fim, faço a generalização: quando a bola volta, o denominador se repete; quando não volta, ele diminui. Esse é o ponto que mais exige revisão, e vale voltar a ele em mais de uma aula.

Para fechar a sequência, proponho um problema de comparação entre três eventos, como nas questões de sorteio de meias ou de frutas. Esse tipo de atividade desenvolve o raciocínio de ordenar resultados e não apenas calcular um valor isolado.

Como avaliar: que tipo de questão usar em cada momento

Nem toda questão serve para todo momento. Nas fichas validadas, cinco das sete questões têm papel de progressão ou consolidação e poder de discriminação entre médio e alto. Elas são boas para prova e atividade. Duas delas também servem para lição de casa, por exigirem cálculo sem demandar leitura longa. Nenhuma das sete é indicada para avaliação rápida, porque o tempo de resolução e o cálculo pedem mais atenção do que um formato curto permite.

Para diagnóstico, as questões com enunciado situacional funcionam bem porque mostram rapidamente quem ignora a reposição. Para simulado, as de comparação de três ou cinco resultados são mais exigentes e revelam a turma inteira. Quando o objetivo é medir domínio final, use as questões de consolidação com alto poder de discriminação.

Ao montar a prova, observe o nível de leitura. Enunciados de nível baixo funcionam bem para checar o cálculo, enquanto os de nível médio exigem interpretação do contexto. Misturar os dois na mesma prova dá uma boa leitura da turma. Se quiser montar essas questões com rapidez, o gerador de provas do GeraProva permite selecionar esse tipo de questão por habilidade e nível de dificuldade. Você pode começar com um cadastro grátis e testar com a sua turma.

O que ensinar antes

Antes de eventos compostos, três conteúdos precisam estar firmes. O primeiro é probabilidade simples, com contagem de casos favoráveis e possíveis. O segundo é multiplicação de frações, que sustenta a regra de multiplicação de probabilidades. O terceiro é a noção de eventos equiprováveis, que aparece como pré-requisito em várias fichas. A razão e a proporção também ajudam, porque o aluno precisa comparar chances e não apenas calcular números isolados.

Se a turma ainda confunde probabilidade simples, vale voltar a ela com exemplos de dados e moedas antes de avançar. Se a multiplicação de frações ainda não está clara, uma revisão com áreas e retângulos ajuda a visualizar a ideia de parte de parte.

Ligações com outros temas

Probabilidade de eventos compostos conversa com temas transversais como economia e finanças, presente em situações de sorteios e escolhas de consumo. Uma das questões validadas usa a escolha de lanche por sorteio, o que permite discutir decisão e risco de forma leve. Esse contexto também favorece a habilidade socioemocional de tomada de decisão, já registrada nas fichas de quase todas as questões.

Outra ligação natural é com o pensamento crítico. A questão sobre dado e moeda, por exemplo, pede que o aluno decida se os resultados são igualmente prováveis e justifique a resposta. Esse tipo de tarefa treina a argumentação matemática, que vai além do cálculo.

7 questões comentadas sobre Probabilidade de eventos compostos

A seguir, as sete questões validadas, com as alternativas comentadas e o que cada erro revela sobre o aluno. Use-as como modelo ou como material direto para a prova.

Questão 1: disco giratório e as tarefas de casa (6º ano)

Enunciado: — Vou usar este disco giratório para decidir quem faz as tarefas de casa, sugeriu Ana. — Cada setor tem igual tamanho e indica uma das três tarefas: lavar louça, varrer o piso ou lavar roupa, explicou Pedro. Eles concordaram que cada pessoa giraria o disco duas vezes, anotando em ordem as duas tarefas que saíssem. Como os setores têm a mesma área e cada giro é independente, as três tarefas têm igual chance em cada giro, e qualquer par de tarefas tem probabilidade idêntica, desde que os resultados sejam considerados em sequência.

Considere o procedimento descrito e identifique qual evento tem maior chance de ocorrer: obter duas tarefas diferentes ou obter a mesma tarefa nas duas jogadas?

• ❌ A) Obter lavar louça seguido de varrer — Também é um par específico com probabilidade 1/9, menor que pares em geral. Quem escolhe esta alternativa confunde um par específico com o evento amplo.
• ✅ B) Obter tarefas diferentes em duas jogadas consecutivas — Há 9 pares possíveis (3x3), sendo 6 pares com tarefas distintas, logo maior probabilidade 6/9 > 3/9.
• ❌ C) Obter a mesma tarefa em duas jogadas consecutivas — Há apenas 3 pares com tarefas repetidas (3/9), menor chance que pares diferentes. Esta é a alternativa mais escolhida, e revela que o aluno não contou todos os pares ordenados.
• ❌ D) Obter lavar louça em ambas as jogadas — Esse evento corresponde a apenas um par (1/9), menor chance.
• ❌ E) Obter lavar roupa na primeira jogada — Esse evento não considera a segunda jogada e não responde à comparação entre pares.

Questão 2: a roda colorida da família Martins (5º ano)

Enunciado: Uma roda colorida gira em uma tarde de domingo na sala de jogos da família Martins. Dados ilustrativos: a roda está dividida em três setores com áreas proporcionais: setor A ocupa metade da circunferência, setor B ocupa 30% e setor C ocupa o restante de 20%. Cada membro da família gira a roda duas vezes e anota os pares de resultados obtidos, como A-A, A-B, C-C, entre outros.

Analise o texto-base e identifique o par de resultados formado pelas duas voltas da roda que tem a maior probabilidade de ocorrer.

• ❌ A) C depois de C — Probabilidade de C seguido de C = 0,2 × 0,2 = 0,04, muito inferior a 0,25.
• ❌ B) B depois de B — Probabilidade de B seguido de B = 0,3 × 0,3 = 0,09, menor que 0,25.
• ❌ C) A depois de B — Probabilidade de A depois de B = 0,3 × 0,5 = 0,15, inferior a 0,25. Esta é a alternativa mais escolhida: o aluno escolhe o par com setores individualmente mais prováveis sem multiplicar as duas chances.
• ✅ D) A depois de A — Probabilidade de A seguido de A = 0,5 × 0,5 = 0,25, maior que qualquer outra combinação.
• ❌ E) C depois de A — Probabilidade de C depois de A = 0,5 × 0,2 = 0,10, inferior a 0,25.

Questão 3: o sorteio do lanche de domingo (3º ano)

Enunciado: Narracao em 1a pessoa: No fim de semana, decidi criar um joguinho para escolher o lanche de domingo. Lancei uma moeda e preparei bilhetes: 3 com a palavra “maçã”, 2 com “pera” e 1 com “kiwi”. Primeiro, lancei a moeda: cara indica escolher um bilhete; coroa indica deixar a decisão para a próxima reunião. Se sair cara, entro na caixa e retiro um bilhete aleatoriamente para saber a fruta. Assim, cada lançamento da moeda e retirada de bilhete compõe um resultado possível desse sorteio duplo.

Analise o texto-base e identifique qual evento possui menor probabilidade de ocorrer:

• ❌ A) Cara e pera — A pera aparece em 2 dos 6 bilhetes. A chance de cara e pera é 2/12, maior que 1/12.
• ❌ B) Coroa e próxima reunião — A moeda pode cair em coroa com chance de 1/2. Esse evento tem chance maior que 1/12. Esta é a alternativa mais escolhida: o aluno não considera coroa como resultado possível do sorteio.
• ❌ C) Cara e maçã — A maçã aparece em 3 dos 6 bilhetes. A chance de cara e maçã é 3/12, maior que 1/12.
• ✅ D) Cara com bilhete de kiwi — O kiwi aparece em 1 dos 6 bilhetes. A chance de sair cara é 1 em 2. Então, a chance de cara e kiwi é 1/12.
• ❌ E) Cara e maçã ou pera — Somando maçã e pera, há 5 bilhetes entre 6. A chance de cara e uma dessas frutas é 5/12, maior que 1/12.

Questão 4: bolas vermelhas com devolução (7º ano)

Enunciado: Em um saco há 3 bolas azuis e 2 bolas vermelhas. Um aluno retira uma bola, devolve-a ao saco e, em seguida, retira outra bola. Qual é a probabilidade de obter duas bolas vermelhas em sequência?

• ❌ A) 1/3, porque pensa que todas as bolas têm a mesma chance de sair. Desconsidera a proporção de bolas vermelhas versus azuis. Esta é a alternativa mais escolhida, e revela que o aluno ainda não distingue casos favoráveis de simples número de bolas.
• ❌ B) 1/5, pois assume que a escolha é aleatória sem considerar as opções. Isso ignora a quantidade de bolas disponíveis após cada escolha.
• ✅ C) 4/25 = 0,16 — Como a bola é devolvida, as retiradas são independentes; P(vermelha) = 2/5 em cada retirada, então P(2 vermelhas) = (2/5)·(2/5) = 4/25.
• ❌ D) 1/2, achando que só existem duas escolhas possíveis: azul ou vermelha. Erro em considerar as combinações e a devolução das bolas.
• ❌ E) 3/10, pois considera que todas as retiradas têm a mesma probabilidade. As retiradas não são independentes; a devolução importa.

Questão 5: as meias da gaveta (3º ano)

Enunciado: — Mãe, quais são as chances de eu tirar duas meias iguais? — perguntou Ana ao abrir a gaveta de meias. Há 5 meias brancas e 3 meias pretas misturadas ali. Sem olhar, Ana vai retirar duas meias em sequência, sem devolver a primeira antes de pegar a segunda. Ela quer saber qual é o resultado mais provável: duas meias brancas, duas meias pretas ou uma de cada cor.

Compare as chances dos eventos descritos e conclua: qual a ordem do resultado mais provável ao menos provável?

• ❌ A) duas pretas; duas brancas; uma meia branca e uma preta — Classifica duas pretas como mais prováveis, mas 3/28 < 10/28 e 15/28, inversão clara.
• ❌ B) duas brancas; uma meia branca e uma preta; duas pretas — Coloca duas brancas em primeiro, mas 10/28 < 15/28, erro de comparação de probabilidades. Esta é a alternativa mais escolhida: o aluno ordena pelo evento mais intuitivo, sem recalcular a segunda retirada.
• ✅ C) uma meia branca e uma preta; duas brancas; duas pretas — Combinações: 15/28 para meia de cada cor, 10/28 para duas brancas, 3/28 para duas pretas; a mistura é maior.
• ❌ D) duas brancas; duas pretas; uma meia branca e uma preta — Coloca as pretas em segundo antes do evento misto; ignora que a mistura tem chance maior que duas pretas.
• ❌ E) duas pretas; uma meia branca e uma preta; duas brancas — Inverte totalmente a ordem, mostrando desconhecimento do cálculo combinatório.

Questão 6: dado e moeda na caixa antiga (5º ano)

Enunciado: Descobri em uma caixa antiga os componentes de um jogo esquecido: um dado justo de seis faces numeradas de 1 a 6 e uma moeda equilibrada com Cara e Coroa. Para entender as chances deste jogo, decidi lançar o dado e, em seguida, arremessar a moeda. Anotei cada combinação de número e face da moeda que ocorreu. Em seguida, repeti o procedimento diversas vezes para observar se todas as combinações pareciam ocorrer com igual frequência.

Analise o texto-base e apresente todos os possíveis resultados do experimento descrito, indicando se eles são igualmente prováveis.

• ❌ A) Oito pares (n, f) com n de 1 a 4 e f igual a Cara ou Coroa; todos equiprováveis com probabilidade 1/8 — Erro na contagem de resultados: o dado tem 6 faces, não 4, gerando 12 e não 8 pares.
• ✅ B) Doze pares (n, f) com n de 1 a 6 e f igual a Cara ou Coroa; todos com probabilidade 1/12 — O espaço amostral tem 6x2=12 resultados, cada um com probabilidade 1/12 em experimentos independentes e justos.
• ❌ C) Dois resultados representados por Cara e Coroa; equiprováveis com probabilidade 1/2 — Considera apenas o lançamento da moeda, desconsiderando as 6 faces do dado e os 12 resultados possíveis.
• ❌ D) Doze pares (n, f) com n de 1 a 6 e f igual a Cara ou Coroa; probabilidades iguais para cada n mas não para cada par — Incorreto ao afirmar que a probabilidade varia entre pares; cada combinação tem a mesma chance 1/12. Esta é a alternativa mais escolhida: o aluno lista os 12 pares, mas tem dúvida sobre a equiprobabilidade do conjunto.
• ❌ E) Seis resultados correspondendo só ao dado (1 a 6); equiprováveis com probabilidade 1/6 — Ignora a etapa do lançamento da moeda, portanto lista apenas 6 resultados em vez de 12.

Questão 7: a urna e a retirada sem reposição (7º ano)

Enunciado: Em uma urna há 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Se extraímos duas bolas sem reposição, qual a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda azul?

• ❌ A) A probabilidade é 1/4, pois cada bola escolhida tem chance igual sem reposição. Errado. As probabilidades variam com a operação de remoção das bolas escolhidas. Esta é a alternativa mais escolhida, e mostra o erro central do tema: tratar a retirada como se a urna continuasse igual.
• ✅ B) 1/6 — Eventos dependentes: P(1ª vermelha)=5/10. Após retirar uma vermelha restam 3 azuis em 9, então P(2ª azul|1ª vermelha)=3/9. Multiplica-se: 5/10×3/9=1/6.
• ❌ C) A probabilidade é 1/3, pois a escolha de uma bola azul não influencia as verdes. Errado. A escolha depende da remoção de uma bola, alterando a totalidade.
• ❌ D) A probabilidade é 1/20, pois há mais bolas azuis do que vermelhas na urna. Errado. A ordem das escolhas e a quantidade correta impactam no cálculo total.
• ❌ E) A probabilidade é 1/5, já que existem 5 bolas vermelhas e 5 azuis juntos. Errado. A quantidade final ativa deve considerar todas as opções corretamente.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre eventos independentes e dependentes?

Eventos independentes são aqueles em que o resultado de uma etapa não altera as chances da outra, como lançar uma moeda duas vezes. Eventos dependentes ocorrem quando a primeira etapa muda o conjunto da segunda, como retirar duas bolas de uma urna sem devolver a primeira. Na prática, a pergunta-chave é se a composição do experimento mudou depois da primeira etapa. Se mudou, a segunda probabilidade precisa ser recalculada com o novo total.

Por que meus alunos sempre esquecem a bola retirada?

Porque, para eles, o cálculo é uma fórmula aplicada sobre um número fixo de casos, e a urna continua na memória com o total original. Esse erro é muito comum e não indica falta de inteligência, e sim a ausência de uma imagem mental do experimento. Desenhar a urna antes e depois de cada retirada costuma resolver bem essa dificuldade, porque o aluno enxerga a mudança.

Como saber se a turma domina o tema antes da prova?

Uma boa forma é aplicar uma questão de comparação com três resultados possíveis, como as das sequências com meias ou frutas, e observar se os alunos listam o espaço amostral completo antes de calcular. Quem escreve todos os pares normalmente acerta a comparação. Quem pula direto para o cálculo costuma errar a ordem. Essa observação diagnóstica vale mais do que a nota final, porque mostra onde está o nó.

Vale a pena usar probabilidade com dados e moedas no 5º ano?

Sim, desde que o foco esteja na contagem de resultados e na comparação simples, como pede a habilidade EF05MA22. Dados e moedas são ótimos porque os resultados são visíveis e equiprováveis, o que facilita a construção do espaço amostral. Evite fórmulas complexas nessa etapa e priorize a listagem de pares e a observação de que cada combinação tem a mesma chance quando o experimento é justo.

Como equilibrar questões de cálculo e de interpretação?

Misture as duas na mesma avaliação. Questões de nível de leitura baixo funcionam para checar o cálculo, enquanto as de nível médio exigem que o aluno entenda o contexto antes de calcular. Uma prova com as duas metades dá uma leitura mais completa da turma do que uma prova só de cálculo ou só de texto.

Se você quiser montar essas questões com dados pedagógicos reais e testar com a sua turma, comece pelo gerador de provas do GeraProva. Um cadastro grátis já permite experimentar a ferramenta sem compromisso.