Grandezas diretamente proporcionais: exercícios para o 7º ano

Quando comecei a ensinar proporcionalidade para o 7º ano, achei que seria o assunto mais tranquilo do bimestre. Eu estava errado. Muitos alunos decoravam a regra de três, mas não conseguiam dizer por que ela funcionava nem reconhecer quando uma situação era proporcional de verdade. Foi isso que me fez mudar a forma de planejar essas aulas.

Hoje começo sempre pela pergunta do contexto, não pela fórmula. Neste texto, eu organizo o que aprendi na prática, com exemplos da minha turma, sugestões de sequência e seis questões resolvidas que você pode levar direto para a prova.

O que são grandezas diretamente proporcionais?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicarmos uma delas por um número, a outra também é multiplicada pelo mesmo número. Em termos práticos, a razão entre os valores correspondentes se mantém constante. Por exemplo, se 1 caderno custa R$ 4, então 3 cadernos custam R$ 12, porque a razão preço/quantidade é sempre 4. Essa constante é chamada de constante de proporcionalidade. No GeraProva, quando gero provas de matemática para o 7º ano, os enunciados sobre preço, receita e velocidade aparecem com frequência justamente porque tornam essa ideia visível para o aluno.

Como o aluno reconhece essa relação?

Eu costumo pedir três verificações simples: a razão é constante? Quando uma grandeza dobra, a outra também dobra? Quando a primeira é zero, a segunda também é zero? Se a resposta for sim para as três, estamos diante de proporcionalidade direta. Essa última condição é importante: a reta que representa a relação passa pela origem.

Como ensinar proporcionalidade direta na prática?

Meu método tem quatro etapas. Primeiro, apresento dois exemplos concretos com números pequenos. Depois, peço que os alunos calculem o valor unitário (ou a constante). Em seguida, usamos esse valor para resolver um terceiro caso. Por fim, discutimos um contraexemplo, uma situação que parece proporcional mas não é, como a de um carro cujo consumo depende de outros fatores.

Esse último passo faz diferença. Quando o aluno percebe que nem toda relação de crescimento é proporcional, ele para de aplicar regra de três automaticamente. Eu já vi turmas inteiras aprenderem a desconfiar da própria resposta, e isso vale mais do que decorar um procedimento.

Passo a passo para a regra de três simples

• Identifique as duas grandezas e as informações conhecidas.
• Verifique se a relação é direta (mais de uma, mais da outra).
• Monte a proporção com as razões correspondentes.
• Resolva multiplicando em cruz e confira a unidade do resultado.

Quantas questões usar em uma avaliação de proporcionalidade?

Na minha experiência, uma prova de 10 questões funciona bem para esse conteúdo, com cerca de três ou quatro questões de reconhecimento (do tipo "essa relação é proporcional?"), quatro de cálculo e duas de interpretação de gráfico. Assim você avalia o conceito e a técnica separadamente, e consegue descobrir se o aluno aprendeu a regra ou entendeu a ideia.

Se você não tem tempo de montar tudo do zero, vale começar por uma conta gratuita no GeraProva, que monta a prova a partir do tema e da habilidade da BNCC que você escolher. Você ainda revisa cada questão antes de aplicar, o que é essencial.

Como avaliar a compreensão dos alunos além da conta?

Gráficos são um ótimo indicador. Uma relação proporcional aparece como uma reta que passa pela origem. Quando peço aos alunos que esbocem o gráfico de uma situação, percebo rapidamente quem entendeu. Muitos desenham uma curva ou uma reta deslocada, e isso aponta exatamente onde está a confusão.

• Peça para explicar a razão constante com suas palavras.
• Use situações de receita, escala e velocidade para variar o contexto.
• Compare duas tabelas e pergunte qual é proporcional.

Questões prontas com gabarito comentado

As questões abaixo são reais, vindas da base de questões do GeraProva. Para cada uma, mostro a alternativa correta, o motivo do erro de cada distrator e a dica que eu daria ao aluno. Também indico o código BNCC e o nível de Bloom, para que você saiba exatamente que habilidade está sendo trabalhada.

Questão 1: Identificando a natureza de cada relação

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. — A primeira relação foi identificada corretamente, mas a segunda foi considerada diretamente proporcional. Mais horas de estudo não garantem uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra sempre aumenta na mesma proporção. Isso não é garantido em nenhuma das duas relações.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. — Esse raciocínio supõe que, ao aumentar uma grandeza, a outra diminui de modo que o produto entre elas fique constante. Isso não descreve as relações apresentadas.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — Nenhuma das relações descritas é proporcional. A altura e o peso de uma pessoa não mantêm uma razão constante, e estudar mais horas não garante uma nota que aumente sempre na mesma proporção.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. — A segunda relação foi identificada corretamente, mas a primeira foi considerada diretamente proporcional. A altura e o peso não mantêm uma razão constante.

Dica de resolução: verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Código BNCC: EF08MA12. Nível de Bloom: analisar.

Questão 2: Reconhecendo a proporcionalidade inversa

Comparar as situacoes e identificar aquela que representa proporcionalidade inversa.

• ❌ A) Litros de tinta e area pintada, com mesmo rendimento — Mais area exige mais tinta. A relacao e direta.
• ❌ B) Preco por unidade e quantidade paga, com valor fixo por unidade — Mantido o preco unitario, pagando mais compra-se mais unidades. Relacao direta.
• ❌ C) Distancia percorrida e combustivel gasto, com mesmo consumo — Maior distancia tende a exigir mais combustivel. Relacao direta.
• ❌ D) Numero de paginas e massa do caderno, com mesmo tipo de papel — Mais paginas aumentam a massa. Relacao direta.
• ✅ E) Numero de torneiras iguais abertas e tempo para encher um tanque — Abrindo mais torneiras, o tempo diminui na mesma proporcao. Relacao inversa.

Dica de resolução: analise as relações entre as grandezas para identificar a proporcionalidade inversa. Conceito central: proporcionalidade inversa. Código BNCC: EF09MA08. Nível de Bloom: analisar.

Questão 3: Reconhecendo a reta que passa pela origem

Se houver taxa inicial, uma entrega sem percurso já terá custo — observou a representante dos ciclistas durante uma simulação fictícia para contratar um serviço de entregas. A prefeitura definiu que o valor C, em reais, deveria variar em proporção direta à distância d, em quilômetros, percorrida. Cinco empresas apresentaram seus modelos: P: C = 8 + 1,5d; Q: C = 1,5d; R: C = 5 + 2d; S: C = 2 + 0,5d; e T: C = 4 + 3d. A comissão precisa reconhecer, no plano cartesiano, o modelo que atende à condição estabelecida.

Analise os modelos apresentados e identifique a representação geométrica que atende à condição de proporcionalidade direta definida pela prefeitura.

• ❌ A) A reta do modelo T, que intercepta o eixo vertical em 4. — Erro de considerar apenas o coeficiente da distância: o termo constante 4 indica custo mesmo quando a distância é zero.
• ❌ B) A reta do modelo S, que intercepta o eixo vertical em 2. — Erro de associar menor valor inicial à proporcionalidade: o termo constante 2 desloca a reta para cima no plano cartesiano.
• ✅ C) A reta do modelo Q, que passa pela origem do plano. — No modelo Q, C = 1,5d não há termo constante. Logo, para d = 0, C = 0, e a reta passa pela origem.
• ❌ D) A reta do modelo P, que intercepta o eixo vertical em 8. — Erro de confundir crescimento linear com proporcionalidade: o termo constante 8 faz com que a reta não passe pela origem.
• ❌ E) A reta do modelo R, que intercepta o eixo vertical em 5. — Erro de ignorar a taxa fixa: embora o custo aumente com a distância, o valor inicial 5 impede a proporcionalidade direta.

Dica de resolução: identifique a função que representa proporcionalidade direta, ou seja, sem termo constante. Conceito central: proporcionalidade direta, função linear. Código BNCC: EM13MAT401. Nível de Bloom: aplicar.

Questão 4: Área de placas quadradas e proporcionalidade com o quadrado

Em uma obra, placas quadradas foram testadas para diferentes medidas de lado x. O gráfico mostra a área A obtida em cada caso. Com base nos dados, qual relação representa uma variável diretamente proporcional ao quadrado da outra?

• ❌ A) A = x — Se fosse linear, os pontos cresceriam na mesma razão, o que não ocorre.
• ❌ B) A = 2*x — Os valores de A não são o dobro de x em todos os pontos do gráfico.
• ✅ C) A = x**2 — Correta: 1, 4, 9, 16 e 25 são exatamente os quadrados de 1, 2, 3, 4 e 5.
• ❌ D) A = x**2 + 1 — Nesse caso, para x=1 a área seria 2, e não 1, como mostra o gráfico.
• ❌ E) A = 2*x**2 — Os valores do gráfico são menores que o dobro de x² para todos os pontos dados.

Dica de resolução: analise o gráfico para identificar a relação entre as variáveis. Conceito central: proporcionalidade direta e área. Código BNCC: EM13MAT402. Nível de Bloom: compreender.

Questão 5: O gráfico de uma proporção direta

Uma turma registrou a relação entre número de pacotes de sementes e quantidade de mudas produzidas. Os dados foram: 1 pacote → 5 mudas; 2 pacotes → 10 mudas; 3 pacotes → 15 mudas; 4 pacotes → 20 mudas. Se esses dados forem representados em um gráfico, qual característica deve aparecer para indicar proporcionalidade direta?

• ❌ A) Os pontos devem formar uma linha curva, porque a quantidade de mudas aumenta mais rápido a cada pacote. — O aluno confunde proporcionalidade direta com crescimento acelerado. Em uma relação proporcional, o gráfico não é curvo; ele é uma reta com razão constante.
• ❌ B) Os pontos devem formar uma linha reta, mas que comece acima da origem, pois já existe uma quantidade inicial de mudas. — O aluno supõe um valor inicial fixo sem que os dados indiquem isso. Na proporcionalidade direta, quando o número de pacotes é zero, a quantidade de mudas também é zero, então a reta deve passar pela origem.
• ✅ C) Os pontos devem formar uma linha reta que passa pela origem, mostrando que a razão entre pacotes e mudas é constante. — Resposta correta. Em proporcionalidade direta, os valores aumentam na mesma razão, então os pontos ficam alinhados em uma reta que passa pelo ponto de origem.
• ❌ D) Os pontos devem ficar espalhados no gráfico, porque cada pacote produz uma quantidade diferente de mudas. — O aluno percebe apenas que os valores mudam, mas ignora o padrão entre eles. Os dados mostram aumento constante, por isso os pontos não ficam soltos; formam uma reta.
• ❌ E) Os pontos devem formar uma reta inclinada, com a quantidade de mudas crescendo sem manter a mesma razão entre os pacotes. — O aluno generaliza a ideia de aumento e esquece a condição de proporcionalidade. Uma reta só indica proporcionalidade quando a razão é constante; sem isso, a relação não é direta.

Dica de resolução: verifique se os pontos formam reta e passam pela origem. Conceito central: proporcionalidade direta. Código BNCC: EF05MA12. Nível de Bloom: aplicação.

Questão 6: O procedimento do preço unitário

Cena de sala de aula: a professora apresentou dois problemas de compra de camisas com preços proporcionais. No primeiro, 5 camisas custam R$ 150; no segundo, 8 camisas custam R$ 240. Para cada exemplo, ela calculou o valor unitário dividindo o preço pela quantidade e depois multiplicou pelo número de camisas desejadas. Em seguida, propôs um terceiro problema: quanto custarão 12 camisas? Ela recomendou usar o mesmo conjunto de passos adotados nos dois primeiros exemplos.

Analise o texto-base e identifique qual procedimento deve ser repetido para resolver o problema das 12 camisas.

• ❌ A) Somar o preço unitário dos dois exemplos e dividir pela nova quantidade. — Não se soma valores unitários de exemplos distintos; procedimento inválido para esse problema.
• ❌ B) Somar os preços dos dois primeiros exemplos e multiplicar pela nova quantidade. — Mistura valores totais em vez de calcular preço por unidade, procedimento incorreto.
• ❌ C) Aplicar regra de três para proporção inversa entre preço e quantidade. — Os exemplos são de proporcionalidade direta, não inversa; esse procedimento levaria ao erro.
• ✅ D) Dividir o preço total pela quantidade para obter o preço unitário e depois multiplicar pela nova quantidade. — Esse é exatamente o método usado nos dois exemplos: determinar valor unitário e multiplicar pela quantidade desejada.
• ❌ E) Calcular a diferença entre as quantidades e aplicar essa diferença ao preço. — Subtrair quantidades não gera informação sobre preço unitário; é procedimento inadequado.

Dica de resolução: calcule o preço unitário dividindo o preço total pela quantidade e multiplique pela nova quantidade. Conceito central: proporcionalidade e regra de três. Código BNCC: EF07MA06. Nível de Bloom: entender.

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