Questões sobre grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Quando ensino proporcionalidade, começo com situações que os alunos conseguem imaginar: mais unidades compradas, maior custo; mais pessoas fazendo o mesmo trabalho, menos tempo. Na minha experiência, o desafio não é só calcular: é perceber se existe uma razão constante ou se o produto das grandezas permanece igual. Também é importante evitar conclusões apressadas, porque duas coisas variarem juntas não significa que sejam proporcionais.

Já usei questões contextualizadas para fazer a turma discutir antes de aplicar uma regra. A habilidade EF08MA12 pede justamente que os estudantes identifiquem a natureza da variação e consigam representá-la, inclusive por sentença algébrica e gráfico. A seguir, reúno um caminho de explicação e seis questões completas, com alternativas e comentários para apoiar a correção e a revisão.

O que são grandezas diretamente e inversamente proporcionais?

Grandezas são diretamente proporcionais quando uma varia na mesma razão que a outra: se uma dobra, a outra também dobra, e a razão entre elas permanece constante. Podemos escrever essa relação como y = kx, em que k é uma constante. Já duas grandezas são inversamente proporcionais quando, mantendo as demais condições, uma aumenta na mesma proporção em que a outra diminui; nesse caso, o produto entre elas permanece constante, como em xy = k. Se uma variável aumenta e a outra também, isso, por si só, não prova proporcionalidade: é preciso verificar o padrão. Na minha aula, comparo tabelas de valores e pergunto o que permanece igual. Esse procedimento ajuda a diferenciar proporcionalidade de uma associação apenas crescente ou decrescente, distinção central na habilidade EF08MA12 e nas questões comentadas abaixo.

Um exemplo direto é o preço de um produto vendido por unidade, sem taxa fixa: o dobro da quantidade custa o dobro. Para a relação inversa, pense em uma tarefa de tamanho fixo, com produtividade igual: dobrar o número de trabalhadores pode reduzir o tempo pela metade.

• Direta: y/x é constante.
• Inversa: x × y é constante.
• Não proporcional: nenhum desses padrões se mantém, mesmo que as variáveis tenham alguma relação.

Como ensinar a identificar a proporcionalidade na prática?

Eu ensino a identificar proporcionalidade com três passos: primeiro, definir quais grandezas estão sendo comparadas e quais condições ficam constantes; segundo, observar uma tabela ou uma situação descrita; terceiro, testar a razão ou o produto. Se a razão entre os valores correspondentes permanece igual, a variação é direta; se o produto permanece igual, é inversa. Se nenhum teste funciona, a relação não é proporcional. Por exemplo, na montagem de um palco, mantendo o trabalho total e a produtividade, 5 pessoas em 8 dias e 10 pessoas em 4 dias produzem o mesmo produto: 40 pessoa-dias. O contexto é essencial, pois aumentar trabalhadores nem sempre reduz o tempo exatamente na mesma proporção. Por isso, peço que a turma explicite as hipóteses, em vez de decorar apenas palavras como “aumenta” e “diminui”.

Depois de identificar o padrão, proponho que os estudantes escrevam uma sentença algébrica e localizem pares ordenados no plano cartesiano. A relação direta y = 3x, por exemplo, produz uma reta que passa pela origem. Assim, a turma conecta tabela, expressão e gráfico, em vez de tratar cada representação como um conteúdo separado.

Como avaliar essa habilidade sem confundir variação e proporcionalidade?

Para avaliar a habilidade sem induzir respostas por palavras-chave, eu combino situações numéricas, contextos cotidianos e leitura de gráficos. Uma boa questão pede que o estudante identifique as grandezas, reconheça o padrão e justifique a escolha com uma razão constante, um produto constante ou a ausência desses critérios. Também observo se ele distingue uma relação crescente de uma diretamente proporcional: horas de estudo podem estar associadas à nota, mas isso não garante que a nota aumente sempre na mesma razão. A habilidade EF08MA12 permite avaliar identificação, expressão algébrica e representação no plano cartesiano. Em uma atividade curta, uso de quatro a seis itens variados e incluo pelo menos uma questão em que a resposta correta seja “não proporcional”. Isso revela se o aluno compreendeu o conceito ou apenas aplicou a regra superficial de que duas grandezas que aumentam juntas são proporcionais.

Na correção, vale pedir uma justificativa curta e retomar o erro mais comum: concluir que toda relação crescente é direta ou que toda relação decrescente é inversa. Para variar os exemplos e poupar tempo de preparação, posso organizar atividades com o GeraProva e conferir os dados pedagógicos associados às questões.

Questões prontas com gabarito comentado

Estas seis questões trabalham identificação, aplicação e representação de grandezas proporcionais e não proporcionais. Eu recomendo pedir primeiro uma justificativa individual e depois comparar as estratégias em duplas: a turma pode verificar razões, produtos, expressões algébricas e os dados de cada contexto. Todas estão relacionadas à habilidade BNCC EF08MA12; junto de cada item, indico o nível de Bloom informado na base do GeraProva e incluo a dica de resolução e o conceito central. As alternativas incorretas também vêm acompanhadas de comentários, o que ajuda a transformar o gabarito em material de revisão, não apenas em uma lista de respostas. Antes de aplicar, confira se a turma compreende as condições descritas em cada enunciado, como a manutenção da mesma quantidade de trabalho ou a divisão igual das entregas. Essa leitura evita que o estudante aplique uma regra sem considerar o contexto.

1. Altura, peso, horas de estudo e nota

Identifique se as grandezas a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais: altura e peso de uma pessoa e o número de horas de estudo e a nota em uma prova.

Dica de resolução: Verifique se uma grandeza varia sempre em razão constante ou inversa da outra. Conceito central: grandezas proporcionais e não proporcionais. Para revisão: diferencie os critérios de proporcionalidade de uma simples associação. BNCC: EF08MA12. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são proporcionais. A primeira relação foi identificada corretamente, mas mais horas não garantem uma nota que aumente sempre na mesma razão.
• ❌ B) Ambas são diretamente proporcionais. Aumentar uma grandeza não implica que a outra aumente na mesma proporção.
• ❌ C) Ambas são inversamente proporcionais. Não há indicação de que o produto entre cada par permaneça constante.
• ✅ D) Altura e peso são não proporcionais; horas e nota são não proporcionais. Nenhuma relação mantém razão constante; estudar mais não garante aumento proporcional da nota.
• ❌ E) Altura e peso são diretamente proporcionais; horas e nota são não proporcionais. A segunda está correta, mas altura e peso não mantêm razão constante.

2. Trabalhadores e tempo de carregamento

Gestores de uma empresa de transporte monitoram diferentes pares de grandezas para otimizar operações. Observaram que, quando a distância percorrida dobra, o combustível consumido também dobra; ao dobrar os trabalhadores responsáveis pela carga, o tempo de carregamento cai pela metade; e o aumento do peso da carga exige maior potência do motor, sem fator constante. Qual par apresenta variação inversamente proporcional?

Dica de resolução: Identifique a relação inversa. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisão: confira se o produto permanece constante. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Número de trabalhadores e tempo de carregamento. Dobrar os trabalhadores reduz o tempo pela metade, conforme o texto.
• ❌ B) Distância percorrida e tempo de carregamento. O texto não apresenta relação entre essas grandezas.
• ❌ C) Tempo de carregamento e combustível consumido. Não há informação relacionando essas grandezas.
• ❌ D) Peso da carga e potência exigida do motor. Há relação, mas sem razão constante e sem padrão inverso indicado.
• ❌ E) Distância percorrida e combustível consumido. As duas dobram juntas, caracterizando variação direta, não inversa.

3. Voluntários e tempo de montagem do palco

Com 5 pessoas, a montagem de um palco leva 8 dias; com 10 pessoas, leva 4 dias; e com 20 pessoas, leva 2 dias. Considerando a mesma quantidade de trabalho, qual é a natureza da relação entre o número de voluntários e o tempo de montagem?

Dica de resolução: Observe como o tempo muda quando aumenta o número de voluntários. Conceito central: relação de grandezas inversamente proporcionais. Para revisão: compare proporcionalidade direta e inversa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Diretamente proporcional. Na relação direta, ambas aumentam ou diminuem juntas; aqui, uma aumenta enquanto a outra diminui.
• ❌ B) Não proporcional, mas crescente. O tempo diminui quando há mais voluntários, e os dados seguem um padrão específico.
• ❌ C) Não proporcional, mas decrescente. A diminuição, sozinha, não descreve o padrão; os produtos são iguais.
• ❌ D) Não se relacionam, pois o tempo é constante. O tempo varia de 8 para 4 e depois para 2 dias.
• ✅ E) Inversamente proporcional. Os produtos 5 × 8, 10 × 4 e 20 × 2 são iguais a 40.

4. A relação Y = 3X

Dadas as grandezas X e Y, em que Y = 3X, determine a natureza da relação entre elas.

Dica de resolução: Analise a relação algébrica entre as variáveis. Conceito central: relação entre grandezas. Para revisão: retome a proporcionalidade expressa por uma constante multiplicativa. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ✅ A) Diretamente proporcionais. A razão Y/X é 3, constante.
• ❌ B) Inversamente proporcionais. Uma relação inversa exigiria produto constante, não Y = 3X.
• ❌ C) Não proporcionais. A expressão mostra uma razão fixa entre Y e X.
• ❌ D) Constantes. As variáveis dependem uma da outra e podem assumir diferentes valores.
• ❌ E) Relativas. Essa opção não nomeia a relação matemática apresentada.

5. Entregas, pizzas e motoboys

Uma pizzaria móvel registra três situações: o custo C varia com o número n de pizzas, cobrando R$ 20 por unidade e sem taxa fixa; o tempo médio T de entrega depende do número m de motoboys, que repartem igualmente as entregas; e o valor V inclui uma taxa fixa de R$ 5 mais R$ 2 por quilômetro. Qual relação apresenta variação inversamente proporcional?

Dica de resolução: Procure as variáveis em que uma aumenta e a outra diminui na mesma razão. Conceito central: variação inversamente proporcional. Para revisão: compare relações diretas e inversas. BNCC: EF08MA12. Bloom: Entender.

• ❌ A) Custo total C e número de pizzas n. C = 20n, relação diretamente proporcional.
• ❌ B) Tempo médio T e distância d. O texto não estabelece essa relação; a alternativa ainda atribui uma proporcionalidade direta não informada.
• ❌ C) Custo C e distância d. O custo das pizzas não depende da distância, segundo o enunciado.
• ❌ D) Valor V e distância d. A taxa fixa faz a expressão ser V = 5 + 2d, não uma relação inversa.
• ✅ E) Tempo T e número de motoboys m. Repartindo igualmente as entregas, mais motoboys reduzem o tempo na mesma razão, conforme a situação proposta.

6. Representação gráfica de y = 3x

Dadas as grandezas x e y, em que y = 3x, represente graficamente essa relação em um plano cartesiano.

Dica de resolução: Calcule alguns valores de x e encontre os correspondentes de y. Conceito central: função linear. Para revisão: pratique a representação gráfica de relações lineares. BNCC: EF08MA12. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) Gráfico linear que não passa pela origem. Como x = 0 implica y = 0, o gráfico passa pela origem.
• ❌ B) Gráfico exponencial. A expressão y = 3x é linear, não exponencial.
• ✅ C) Gráfico linear que passa pela origem. A relação é y = 3x e contém o ponto (0, 0).
• ❌ D) Gráfico circular. A equação não descreve uma circunferência.
• ❌ E) Gráfico aleatório. Os valores seguem um padrão linear definido.

Como preparar uma atividade de revisão mais eficiente?

Para fechar a revisão, eu alterno questões conceituais com problemas de cálculo e leitura gráfica. Assim, consigo perceber se a dificuldade está em reconhecer a relação, operar com os valores ou traduzir a expressão para o plano cartesiano. Também vale reservar alguns minutos para os estudantes explicarem por que os distratores estão errados: essa conversa evidencia confusões entre “cresce junto” e “é diretamente proporcional”. Se quiser montar uma lista com outros contextos e níveis de dificuldade, o GeraProva pode ajudar a economizar tempo na preparação; eu ainda reviso os itens para adequá-los ao que trabalhei em sala. Você pode fazer o cadastro grátis e experimentar a plataforma antes de decidir como incorporá-la à rotina. O objetivo é usar a ferramenta como apoio, mantendo a escolha pedagógica nas mãos do professor.

As questões podem ser adaptadas ao ritmo e ao conteúdo da sua turma. Se fizer sentido para o seu planejamento, teste o GeraProva gratuitamente e veja como ele pode ajudar na preparação da próxima atividade.