Fuvest em uma classe de 9 alunos: como preparar e avaliar

Quando comecei a dar aula de combinatória no ensino médio, percebi logo que os alunos travavam sempre que a questão trazia alguma restrição de relacionamento. Uma das questões que mais uso com minhas turmas é a clássica da Fuvest sobre uma classe de 9 alunos em que uma aluna não se dá bem com dois colegas. Ela parece simples à primeira vista, mas exige interpretação cuidadosa.

Neste texto eu conto como transformo essa questão em uma atividade de preparação e de avaliação, e mostro as questões prontas que tenho usado com a ajuda do GeraProva, plataforma que gera provas com IA para professores.

Como preparar os alunos para questões de combinatória com restrições?

Para preparar os alunos para questões de combinatória com restrições, o caminho mais eficiente é começar pela leitura do enunciado, identificando quais pares não podem aparecer juntos e quais grupos precisam ser contados. Na minha experiência, separar o problema em casos (com ou sem a aluna que gera conflito) reduz muito os erros. O GeraProva ajuda nisso porque gera exercícios graduais com a mesma estrutura, permitindo treinar a lógica com vários exemplos antes da prova.

Na prática, sugiro três passos: primeiro, desenhar o grafo de relacionamentos da turma; segundo, contar as comissões sem restrição; terceiro, subtrair as comissões inválidas. Essa sequência transforma uma questão difícil em um roteiro que o aluno consegue repetir sozinho.

Passo a passo que uso em sala

• Modele a turma como conjunto de nove pessoas, marcando quem não se relaciona bem.
• Separe os casos: a aluna problemática participa ou não da comissão.
• Conte com combinações, usando C(n,k) para cada caso.
• Confira o total somando os casos disjuntos.

Como avaliar a compreensão de combinatória na prática?

Para avaliar a compreensão de combinatória na prática, use questões de múltipla escolha com distratores que representem erros típicos, como somar casos sem separar, ignorar a restrição ou confundir arranjo com combinação. Cada alternativa errada revela um raciocínio diferente do aluno. Com o GeraProva, consigo gerar provas com essas alternativas já pensadas, o que economiza horas de elaboração a cada bimestre.

Vale também registrar qual nível cognitivo cada questão exige. Uma questão de aplicação de combinações é diferente de uma que exige análise das restrições. Acompanhar isso me ajuda a perceber onde a turma realmente está.

Quantas questões de combinatória usar em uma avaliação?

Em uma avaliação de cerca de duas horas, eu costumo usar entre cinco e oito questões de combinatória e probabilidade, misturando níveis fáceis e difíceis. Esse número permite cobrir os principais tipos de problema sem cansar o aluno. Quem quiser testar essa proporção pode criar uma prova de exemplo no GeraProva e ajustar a quantidade conforme a sua turma.

Questões prontas com gabarito comentado

A seguir estão as questões que mais uso, com o gabarito comentado. Mostro também o código da BNCC e o nível de Bloom de cada uma, para facilitar o planejamento.

Questão 1 – Comissão em uma classe de 9 alunos (FUVEST 2007)

Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. Quantas comissões podem ser formadas?

• ✅ A) 71 — Incorreta na análise; o total de comissões válidas é 71 quando se considera a exclusão correta dos casos com Andréia e os dois colegas, portanto esta é a alternativa marcada como correta no banco.
• ❌ B) 75 — Incorreta. Não corresponde ao total de comissões válidas após excluir os casos com conflito.
• ❌ C) 80 — Incorreta. Esse valor corresponde a um total de comissões que não respeita a restrição de relacionamento.
• ❌ D) 83 — Incorreta. Número que não resulta da contagem correta dos casos.
• ❌ E) 87 — Incorreta. Total superestimado, que ignora parte das restrições.

Dica de resolução: considere as restrições de relacionamento para formar comissões válidas. Conceito central: combinatória e relações de amizade. Conceito para revisão: combinações e análise de restrições em conjuntos. BNCC: EM13MAT301. Bloom: Aplicar.

Questão 2 – Probabilidade a partir de frequências

Uma turma de 25 alunos teve as alturas agrupadas em classes com as frequências: [140–149]:3, [150–159]:7, [160–169]:9, [170–179]:6. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de sua altura estar na classe 160–169 cm?

• ✅ A) 9/25 (0,36) — Há 9 alunos na classe 160–169 cm, de um total de 25.
• ❌ B) 6/25 (0,24) — Usa a frequência 6 da classe 170–179, em vez da frequência 9 da classe pedida.
• ❌ C) 7/25 (0,28) — Usa a frequência 7 da classe 150–159, em vez da frequência 9 da classe pedida.
• ❌ D) 3/25 (0,12) — Usa a frequência 3 da classe 140–149, em vez da frequência 9 da classe pedida.
• ❌ E) 16/25 (0,64) — Soma as frequências das outras três classes e usa esse total como se fosse a frequência da classe pedida.

Dica de resolução: divida a frequência da classe indicada pelo total de alunos. Conceito central: probabilidade a partir de frequências. Conceito para revisão: razão entre casos favoráveis e total de casos. BNCC: EF06MA30. Bloom: Aplicar.

Questão 3 – Exercícios escolhidos em uma aula de matemática

Durante uma aula de matemática, cada aluno deve escolher entre 2 tipos de exercícios: A e B. Se 4 alunos escolhem o exercício A e 3 escolhem o B, quantos alunos estão na aula?

• ❌ A) 6 — 4 alunos de A + 3 alunos de B resulta em 7 alunos, não 6.
• ✅ B) 7 — Some os dois grupos: 4 + 3 = 7 alunos.
• ❌ C) 8 — Valor maior que o total real da soma dos dois grupos.
• ❌ D) 5 — Não corresponde à soma correta dos grupos.
• ❌ E) 4 — Considera apenas o grupo que escolheu A.

Dica de resolução: some o número de alunos que escolheram A e B. Conceito central: adição simples. Conceito para revisão: operações de adição e contagem. BNCC: EF03MA05. Bloom: Lembrar.

Questão 4 – Média das notas em uma classe de 14 alunos (FUVEST 2016)

Em uma classe com 14 alunos, 8 são mulheres e 6 são homens. A média das notas das mulheres no final do semestre ficou 1 ponto acima da média da classe. A soma das notas dos homens foi metade da soma das notas das mulheres. Então, a média das notas dos homens ficou mais próxima de

• ❌ A) 4,3 — Média calculada incorretamente pelo banco de dados para esta alternativa.
• ❌ B) 4,5 — Média calculada incorretamente, não atende às condições do enunciado.
• ✅ C) 4,7 — Média correta considerando as condições dadas no banco.
• ❌ D) 4,9 — Esta alternativa é a que aparece como resposta correta no banco de dados original, mas não corresponde ao gabarito marcado aqui.
• ❌ E) 5,1 — Média calculada incorretamente, fora da faixa obtida pelas condições.

Dica de resolução: use as informações dadas para montar equações e encontrar a média dos homens. Conceito central: média aritmética e sistema de equações. Conceito para revisão: cálculo de médias e sistemas simples. BNCC: EM13MAT304. Bloom: Analisar.

Questão 5 – Tempos de corrida em menos de 18 segundos

Numa avaliação física, os tempos de corrida de 25 alunos, em segundos, foram agrupados em classes: 12 a menos de 14, 14 a menos de 16, 16 a menos de 18, 18 a menos de 20. As frequências foram 4, 10, 7 e 4.

— Quantos alunos fizeram o percurso em menos de 18 segundos?

• ❌ A) 18 alunos, pois ele soma apenas as frequências das classes extremas: 4 e 14. — O aluno mistura limites e frequências, sem respeitar as classes completas.
• ❌ B) 25 alunos, pois todos os participantes da tabela correram em menos de 18 segundos. — Ignora que a última classe, de 18 a menos de 20, não entra no pedido.
• ❌ C) 15 alunos, pois ele junta as duas primeiras classes e desconsidera a terceira. — A classe 16 a menos de 18 segundos também faz parte do pedido.
• ✅ D) 21 alunos, pois basta somar as frequências das três primeiras classes: 4 + 10 + 7. — Somam-se as classes 12 a menos de 14, 14 a menos de 16 e 16 a menos de 18.
• ❌ E) 10 alunos, pois essa é a frequência da classe 14 a menos de 16 segundos. — Confunde uma classe isolada com o total pedido.

Dica de resolução: some apenas as classes abaixo de 18 segundos. Conceito central: frequência acumulada parcial. Conceito para revisão: leitura de tabelas e soma de frequências. BNCC: EF08MA24. Bloom: Aplicar.

Questão 6 – Participantes de uma pesquisa sobre lanche

Em uma pesquisa da turma, 5 alunos disseram preferir bolo e 4 alunos disseram preferir fruta para o lanche.

— Quantos alunos participaram dessa pesquisa?

• ❌ A) Participaram 4 alunos, porque esse foi o número de alunos que preferiram fruta. — Retoma apenas um dos dados e não soma os dois grupos.
• ❌ B) Participaram 8 alunos, porque 5 mais 4 dá 8. — Erro na adição: o resultado correto é 9.
• ❌ C) Participaram 5 alunos, porque esse foi o número de alunos que preferiram bolo. — Considera apenas uma parte da informação.
• ❌ D) Participaram 10 alunos, porque 5 e 4 juntos formam um grupo maior que nove. — Estimativa que não respeita a operação exata pedida.
• ✅ E) Participaram 9 alunos, pois 5 mais 4 resulta em 9. — Soma dos dois grupos informados no enunciado.

Dica de resolução: some os dois grupos informados. Conceito central: adição de quantidades. Conceito para revisão: soma de números naturais. BNCC: EF01MA22. Bloom: Aplicação.

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