Função do 1º grau: exercícios resolvidos e problemas

Quando trabalho função do 1º grau, começo por uma situação que meus alunos reconhecem: uma cobrança fixa somada a um valor por unidade. Já percebi que a expressão f(x)=ax+b fica menos abstrata quando a turma identifica o que cada número representa antes de fazer contas. Uma corrida, uma compra por quilo ou um plano de celular ajudam a construir essa leitura.

Também aprendi a não tratar toda tabela ou todo gráfico como se fosse linear. A base do GeraProva reúne questões sobre diferentes funções; algumas das questões comentadas aqui são quadráticas. Eu as incluí porque comparar modelos é uma boa oportunidade para revisar o que caracteriza uma reta e o que já exige outro tipo de função.

O que é uma função do 1º grau e como identificá-la?

Uma função do 1º grau é uma relação que pode ser escrita como f(x)=ax+b, em que a e b são números reais e a é diferente de zero. Seu gráfico é uma reta: o coeficiente a indica a inclinação e o sentido de crescimento ou decrescimento, enquanto b indica onde a reta cruza o eixo vertical. Para identificá-la em um problema, procuro uma variação constante: quando x aumenta sempre a mesma quantidade, f(x) muda sempre por um mesmo valor. Por exemplo, uma entrega com taxa fixa de R$ 4 mais R$ 3 por quilômetro pode ser representada por C(x)=3x+4. O termo fixo não depende da distância; o valor por quilômetro depende. Essa leitura permite distinguir função afim de relações quadráticas, como y=2x², que não têm gráfico reto.

Na sala, eu peço que a turma explique os coeficientes em palavras antes de calcular. Uma representação contextualizada costuma ser mais clara que apresentar a fórmula sem cenário: “quanto pago mesmo sem consumir?” aponta para o termo independente; “quanto aumenta a cada unidade?” aponta para o coeficiente angular.

Como resolver problemas de função do 1º grau?

Para resolver um problema de função do 1º grau, eu identifico primeiro a variável de entrada e aquilo que o enunciado quer calcular. Em seguida, separo o valor fixo da variação por unidade e escrevo o modelo f(x)=ax+b. Depois substituo o valor de x, faço as operações respeitando a unidade e verifico se o resultado faz sentido no contexto. Se a questão pedir quando dois custos se igualam, monto uma equação, igualo as expressões e resolvo. Por exemplo, com A(x)=2x+5 e B(x)=3x+2, a igualdade ocorre quando 2x+5=3x+2, portanto x=3. Ao substituir, os dois custos são R$ 11. Esse passo a passo ajuda a evitar confundir taxa fixa com preço unitário e transforma o cálculo em uma interpretação verificável.

Uma sequência que uso no quadro é:

• Definir o que representa x e indicar sua unidade.
• Localizar no enunciado o valor inicial e a variação por unidade.
• Escrever a expressão e substituir o dado solicitado.
• Conferir o resultado com uma estimativa ou uma segunda substituição.

Se o contexto envolve tarifas, vale discutir também o domínio: não faz sentido considerar uma quantidade negativa de quilos ou quilômetros, embora a reta matemática possa se estender para esse lado.

Como avaliar se uma tabela representa uma função do 1º grau?

Para avaliar uma tabela, comparo as primeiras diferenças: calculo quanto y muda entre valores consecutivos de x. Quando os valores de x avançam em intervalos iguais e as diferenças de y são constantes, os pontos são compatíveis com uma função do 1º grau. Se as diferenças não são constantes, verifico se a tabela pode representar outro modelo, em vez de forçar uma reta. Por exemplo, para x=0,1,2,3 e y=4,7,10,13, y aumenta 3 a cada passo; a expressão é y=3x+4. Uma atividade útil é pedir que os estudantes estimem o próximo valor e expliquem a regra, depois confirmem a regra substituindo dois pares. Essa análise permite conectar tabela, expressão e gráfico. As questões da base do GeraProva também permitem contrastar padrões lineares com quadráticos e conversar sobre por que nem todo crescimento é uniforme.

Quando os intervalos de x não são iguais, eu tomo cuidado para comparar a taxa de variação por unidade, não apenas a diferença bruta entre os valores de y. Essa distinção melhora a leitura de tabelas experimentais e evita conclusões apressadas.

Como usar questões resolvidas para revisar funções?

Eu uso questões resolvidas para observar o raciocínio, não só a alternativa marcada. Uma boa correção nomeia o conceito, mostra a substituição ou a comparação feita e explica por que os distratores parecem possíveis, mas falham. As seis questões abaixo são registros pedagógicos da base do GeraProva e tratam principalmente de funções quadráticas, além de uma questão de função afim. Essa diferença é intencional: comparar uma reta com uma parábola ajuda a turma a reconhecer o grau do modelo e a não aplicar a fórmula de 1º grau a qualquer tabela. Em cada item, incluo dica de resolução, conceito central, código BNCC e nível de Bloom informado. Posso usar os itens como revisão diagnóstica, selecionando primeiro os que revelam confusões entre coeficientes, vértice e diferenças sucessivas, e depois propor um problema linear contextualizado para consolidar a habilidade.

Na correção, peço que cada estudante justifique ao menos um distrator. Esse hábito revela se o erro veio de uma conta, da leitura do enunciado ou da escolha do modelo.

Questões prontas com gabarito comentado

As questões a seguir incluem enunciados e alternativas completos, com comentários para cada opção. Antes de aplicar, eu observo que cinco itens trabalham relações quadráticas, não função do 1º grau; eles funcionam bem como contraste e revisão de modelos. A questão sobre custos das fazendas, por sua vez, aborda diretamente a função afim. Os dados de habilidade BNCC e Bloom ajudam a planejar a sequência e a selecionar o nível de demanda cognitiva. A dica de resolução pode servir como intervenção para quem precisa de apoio, enquanto o conceito para revisão aponta o conteúdo a retomar. Assim, não uso o gabarito apenas para corrigir: aproveito os erros previsíveis para conversar sobre como uma expressão se relaciona com tabela, gráfico e contexto.

1. Tabela de valores e função quadrática

Considere a tabela de valores: x = -2, -1, 0, 1, 2 e y = 8, 2, 0, 2, 8. Represente esses pontos no plano cartesiano e determine a expressão algébrica que relaciona y a x. Indique se a relação é uma função polinomial de 2º grau do tipo y = a x² e informe o valor de a.

Dica de resolução: Represente os pontos e busque a relação entre x e y. Conceito central: função polinomial. Conceito para revisão: determinar funções a partir de tabelas de valores. BNCC: EM13MAT502. Bloom: Aplicar.

• ❌ A) y = 3x². O coeficiente está errado: os valores indicam a=2.
• ❌ B) y = x³. Essa expressão é cúbica, mas os dados seguem uma relação quadrática.
• ❌ C) y = x² - 2. O coeficiente de x² não corresponde aos pares da tabela.
• ❌ D) y = x + 2. É uma expressão de 1º grau e não reproduz a tabela.
• ✅ E) y = 2x². Para x=2, y=8 e, para x=1, y=2; os pares confirmam a=2. Em x=0, a expressão também fornece y=0.

2. Lucro mensal e vértice da parábola

Dados ilustrativos: uma consultoria em tecnologia avaliou o desempenho de um aplicativo de finanças pessoais ao longo dos meses de lançamento. O lucro mensal f(x), em milhares de reais, foi modelado por uma função polinomial de segundo grau. Observou-se que o faturamento zerou nos segundo e oitavo meses após a estreia e atingiu valor máximo de 72 mil reais no quinto mês. Além disso, a concavidade do gráfico indica que, após o pico, o lucro volta a cair. A partir dos dados apresentados, determine a expressão algébrica de f(x), em forma polinomial expandida, que descreve o comportamento do lucro mensal.

Dica de resolução: Use as raízes e o valor máximo para montar a função quadrática. Conceito central: função quadrática, raízes e vértice. Conceito para revisão: cálculo de raízes e vértice. BNCC: EM13MAT302. Bloom: Avaliar.

• ❌ A) f(x) = -4x² + 40x - 32. Com esse coeficiente, o vértice não alcança 72.
• ❌ B) f(x) = 8x² - 80x + 128. A parábola abre para cima, contrariando o máximo descrito.
• ✅ C) f(x) = -8x² + 80x - 128. É a expansão de -8(x-5)²+72; tem raízes 2 e 8 e vértice (5,72).
• ❌ D) f(x) = -8x² + 40x + 72. Não apresenta as raízes informadas.
• ❌ E) f(x) = -8x² + 80x + 72. O termo independente não garante as raízes 2 e 8.

3. Leituras de uso da CPU

Registros de uso de CPU de um serviço mostram as leituras (em %) nos instantes t=0,1,2,3: 10, 18, 30, 46. Com base nessas observações, qual grau de polinômio melhor descreve os dados e por quê?

Dica de resolução: Analise as variações dos dados para determinar o grau do polinômio. Conceito central: grau de polinômio. Conceito para revisão: polinômios e suas aplicações em dados. BNCC: EM13MAT302. Bloom: Analisar.

• ❌ A) Polinômio de grau 4, pois muitos pontos de dados são considerados. A quantidade de pontos não justifica, por si só, grau 4.
• ✅ B) Polinômio de grau 2 (quadrático). As diferenças são 8, 12 e 16; as segundas diferenças são constantes, iguais a 4.
• ❌ C) Polinômio de grau 3, já que os dados são complexos. A complexidade aparente não determina o grau; as segundas diferenças indicam grau 2.
• ❌ D) Polinômio de grau 1, pois as leituras crescem uniformemente. As diferenças entre leituras não são constantes.
• ❌ E) Polinômio constante, pois a CPU não muda ao longo do tempo. Os valores mudam a cada instante.

4. Curvas do letreiro do parque

Ao estudar o traçado de um novo letreiro para a entrada de um parque, a equipe de projeto comparou duas curvas no plano cartesiano. A primeira foi descrita por f(x) = -(x - 2)² + 4 e a segunda por g(x) = (x + 1)² - 3. No desenho previsto, interessava à equipe uma curva com ponto mais alto em (2, 4), simétrica em relação à reta x = 2 e que, ao se afastar desse ponto, ficasse cada vez mais baixa dos dois lados. Em outra proposta, a curva tinha ponto mais baixo em (-1, -3) e se abria para cima. A decisão dependia de reconhecer, a partir da expressão algébrica, como cada função se comporta geometricamente no plano. Considere as expressões apresentadas no texto-base e identifique a curva que corresponde ao letreiro desejado pela equipe.

Dica de resolução: Analise o vértice e a concavidade de cada função. Conceito central: função quadrática, vértice e concavidade. Conceito para revisão: propriedades do vértice e da concavidade. BNCC: EM13MAT402. Bloom: Avaliar.

• ❌ A) A curva de g(x), pois ela tem ponto máximo em (-1, -3) e se abre para baixo. O coeficiente positivo indica concavidade para cima.
• ❌ B) A curva de g(x), pois ela tem ponto mínimo em (2, 4) e se abre para cima. O vértice de g é (-1,-3).
• ❌ C) A curva de f(x), pois ela tem ponto mínimo em (-1, -3) e se abre para cima. f tem vértice (2,4) e concavidade para baixo.
• ✅ D) A curva de f(x), pois ela tem ponto máximo em (2, 4) e se abre para baixo. O sinal negativo e a forma de vértice confirmam a descrição.
• ❌ E) A curva de f(x), pois ela tem ponto mínimo em (2, 4) e se abre para cima. O sinal negativo indica concavidade para baixo.

5. Pares experimentais e modelo y = ax²

Em uma atividade de modelagem, estudantes analisaram uma grandeza y que depende de uma medida x. Os resultados experimentais foram organizados nos seguintes pares: (0, 0), (1, 3), (2, 12) e (3, 27). Para verificar um modelo quadrático simples, eles consideraram a expressão y = ax², em que a é uma constante. Com base nos dados do experimento, verifique se todos os pares pertencem a uma função da forma y = ax² e determine o valor de a.

Dica de resolução: Substitua os pares na equação para encontrar a. Conceito central: função quadrática. Conceito para revisão: determinar coeficientes de funções quadráticas. BNCC: EM13MAT502. Bloom: Lembrar.

• ❌ A) Sim. a = 6, portanto y = 6x². O valor 6 vem de dividir y por x no par (2,12), mas o modelo pede comparar com x².
• ❌ B) Sim. a = 9, portanto y = 9x². 27/3 não é o cálculo adequado; é preciso dividir por 3².
• ✅ C) Sim. a = 3, portanto y = 3x². As razões 3/1², 12/2² e 27/3² são iguais a 3; para x=0, y também é 0.
• ❌ D) Sim. a = 12, portanto y = 12x². O valor de y quando x=2 não é diretamente o coeficiente.
• ❌ E) Não. Os valores de y não mantêm a mesma razão com x². As razões para x diferente de zero são todas iguais a 3.

6. Preços de mel em duas fazendas

Em uma feira local, duas fazendas apresentam suas próprias tabelas de preços para venda de mel por quilo. A Fazenda Alpha cobra um valor fixo de R$ 5,00 mais R$ 2,00 por quilo de mel, enquanto a Fazenda Beta aplica uma taxa inicial de R$ 2,00 mais R$ 3,00 por quilo. Esses preços podem ser expressos por funções polinomiais de 1º grau: Cα(x)=2x+5 e Cβ(x)=3x+2, onde x representa a quantidade de quilos adquiridos e C o custo total em reais. Analise o texto-base e identifique a descrição correta do posicionamento e da inclinação das retas que representam as funções de custo no plano cartesiano.

Dica de resolução: Compare os coeficientes angulares e os termos independentes. Conceito central: função afim, inclinação e interceptação. Conceito para revisão: coeficiente angular e interceptação no eixo y. BNCC: EM13MAT401. Bloom: Entender.

• ❌ A) A reta da fazenda Alpha tem inclinação maior que a da fazenda Beta e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 5. O intercepto está certo, mas 2 não é maior que 3.
• ❌ B) A reta da fazenda Alpha tem inclinação maior que a da fazenda Beta e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 2. A inclinação e o intercepto estão incorretos.
• ✅ C) A reta da fazenda Alpha tem inclinação menor que a da fazenda Beta e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 5. Seu coeficiente angular é 2, menor que 3, e o termo independente é 5.
• ❌ D) A reta da fazenda Alpha tem a mesma inclinação que a da fazenda Beta e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 5. Os coeficientes angulares são diferentes.
• ❌ E) A reta da fazenda Alpha tem inclinação menor que a da fazenda Beta e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 2. A inclinação está certa, mas o intercepto de Alpha é 5.

Como preparar uma lista de exercícios sem perder tempo?

Para montar uma lista produtiva, eu alterno problemas de interpretação, cálculo e leitura gráfica, começando por itens próximos da realidade da turma e aumentando a complexidade aos poucos. Também confiro se o gabarito explica o raciocínio, não apenas a letra correta, e se as alternativas erradas representam dúvidas plausíveis. O GeraProva pode ajudar a gerar e organizar questões, o que economiza parte do tempo de preparação; ainda assim, eu reviso os enunciados, a adequação à turma e a coerência dos cálculos antes de aplicar. Você pode conhecer a página inicial do GeraProva e, se quiser experimentar, fazer o cadastro grátis. Minha sugestão é usar uma questão diagnóstica, discutir os erros mais comuns e só então escolher quais habilidades precisam de retomada.

Para uma sequência curta, eu selecionaria uma questão de modelagem como a das fazendas, uma de tabela linear e uma de interpretação gráfica. Os itens quadráticos desta página podem entrar como comparação, deixando explícito o objetivo de revisão.

Os exemplos são um apoio e vale adaptar números, contexto e nível à sua turma. Se quiser economizar tempo na preparação, teste o GeraProva e revise as questões geradas antes de levar para a aula.