Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT402)

Quando recebo um código da BNCC no planejamento, a primeira sensação é de tradução: preciso transformar aquela frase longa em aula, exercício e avaliação que caibam na semana real da turma. Com o EM13MAT402 não foi diferente. O código fala em converter representações algébricas em geométricas, e isso precisa virar algo que o aluno faça com lápis, régua e, quando possível, um software simples.

Escrevo este texto pensando nessa travessia. Aqui você encontra o que a habilidade pede na prática, ideias que funcionam sem material caro, orientações para avaliar e seis questões prontas com gabarito comentado.

O que a habilidade EM13MAT402 pede, de verdade?

O texto oficial da habilidade diz:

Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.

Em linguagem de sala de aula, isso quer dizer: dada a fórmula de uma parábola, o aluno precisa desenhar a curva no plano cartesiano, identificando concavidade, vértice, interseções com os eixos e eixo de simetria. Além disso, precisa reconhecer quando a relação entre duas grandezas é do tipo y = kx², ou seja, quando uma variável é diretamente proporcional ao quadrado da outra. É aí que a álgebra vira figura, e a figura devolve sentido à álgebra. Muitos alunos decoram a fórmula do vértice sem saber o que ela desenha; esta habilidade existe justamente para quebrar essa separação.

Como trabalhar EM13MAT402 em sala?

Algumas ideias que testei e que cabem na rotina:

• Partir de situações reais: trajetória de uma bola, área de uma placa quadrada em função do lado, lucro de uma pequena venda. O aluno esboça a curva antes de calcular qualquer coisa.
• Tabela e gráfico lado a lado: peça que preencham valores de x e de y, marquem os pontos no papel quadriculado e só depois liguem os pontos. Quem vê a curva surgir entende melhor a concavidade.
• Papel quadriculado e régua, sem tecnologia: cada grupo recebe uma função diferente e precisa descobrir o vértice pelo gráfico antes de conferir com a fórmula.
• Aplicativo gratuito de geometria dinâmica, se a escola tiver laboratório: basta mudar um coeficiente e observar a parábola se abrir ou fechar. Quando não houver, o mesmo exercício feito no quadro com três ou quatro curvas já funciona.
• Distinguir proporcionalidade: mostre duas tabelas, uma linear e outra quadrática, e peça que digam qual delas dobra a área quando o lado dobra. A pergunta costuma gerar debate bom.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão sobre EM13MAT402 precisa cobrar mais do que substituir números em uma fórmula. Ela deve exigir que o aluno relacione o gráfico com a expressão algébrica, ou que justifique por que certa relação é ou não diretamente proporcional ao quadrado. Questões que pedem apenas o cálculo do vértice ainda são úteis, mas ficam incompletas se não passarem pela leitura do gráfico.

Os erros mais comuns que vejo nas avaliações são: usar -b/a em vez de -b/(2a) para o x do vértice, esquecer o sinal de a ao decidir se a parábola tem máximo ou mínimo, e confundir o termo independente com a altura do vértice. Vale comentar esses erros na correção, porque são justamente os que aparecem nas alternativas erradas bem construídas.

Questões prontas de EM13MAT402 (com gabarito comentado)

Seguem seis questões validadas do acervo, com as alternativas comentadas para você entender por que cada uma está certa ou errada.

Questão 1: relação diretamente proporcional ao quadrado

Em uma obra, placas quadradas foram testadas para diferentes medidas de lado x. O gráfico mostra a área A obtida em cada caso. Com base nos dados, qual relação representa uma variável diretamente proporcional ao quadrado da outra?

• ❌ A) A = x — Se fosse linear, os pontos cresceriam na mesma razão, o que não ocorre.
• ❌ B) A = 2*x — Os valores de A não são o dobro de x em todos os pontos do gráfico.
• ✅ C) A = x**2 — Correta: 1, 4, 9, 16 e 25 são exatamente os quadrados de 1, 2, 3, 4 e 5.
• ❌ D) A = x**2 + 1 — Nesse caso, para x=1 a área seria 2, e não 1, como mostra o gráfico.
• ❌ E) A = 2*x**2 — Os valores do gráfico são menores que o dobro de x² para todos os pontos dados.

Dica de resolução: analise o gráfico para identificar a relação entre as variáveis.

Questão 2: expressão a partir do gráfico

Uma startup modelou o lucro L, em milhares de reais, de um quiosque conforme o número x de centenas de pedidos. O gráfico mostra essa relação no plano cartesiano. De acordo com o gráfico, qual expressão algébrica representa L(x)?

• ❌ A) L(x) = x**2 + 4*x + 3 — Essa expressão não teria raízes em x=1 e x=3 nem vértice em (2,-1).
• ✅ B) L(x) = x**2 - 4*x + 3 — Correta: a parábola zera em 1 e 3 e tem vértice mínimo em x=2, com y=-1.
• ❌ C) L(x) = x**2 - 3*x + 4 — Não zera em x=1 e x=3; o intercepto e o eixo de simetria também não coincidem.
• ❌ D) L(x) = -x**2 + 4*x - 3 — A concavidade seria para baixo, diferente da do gráfico mostrado.
• ❌ E) L(x) = x**2 - 4*x - 3 — O termo independente mudaria o ponto em que a curva corta o eixo y.

Dica de resolução: analise o gráfico para identificar a relação entre x e L(x) e escreva a expressão algébrica correspondente.

Questão 3: vértice de uma parábola de visitantes

Por que o movimento das pessoas em um espaço público pode ser representado por uma parábola? Dados ilustrativos: a administração de um parque registrou o número de visitantes diários P(x) descrito pela função P(x) = -2x^2 + 120x + 8000, em que x é o número de dias desde a inauguração. Esse modelo reflete o aumento gradual de público até um ponto máximo e, em seguida, uma queda proporcional ao quadrado dos dias. A representação geométrica dessa função no plano cartesiano revela a posição e o valor máximo de visitantes em seu vértice.

Analise a função quadrática apresentada e determine as coordenadas do vértice do seu gráfico no plano cartesiano.

• ❌ A) (30, 10000) — Valor de P(30) calculado sem subtrair 2·30^2, resultando em y acima do real.
• ❌ B) (30, -9800) — Sinal de y invertido, confundindo valor máximo positivo com mínimo negativo.
• ❌ C) (-30, 9800) — Sinal de x invertido: x_v deve ser -b/(2a)=30, não -30.
• ❌ D) (15, 8900) — Erro em calcular x_v como -b/a ou em P(x), levando a valor incorreto para o vértice.
• ✅ E) (30, 9800) — x_v = -b/(2a)=120/4=30 e P(30)= -2(900)+3600+8000=9800, logo vértice (30,9800).

Dica de resolução: calcule o vértice da parábola usando a fórmula -b/2a para x e substitua na função para y.

Questão 4: interseções com o eixo x

Descrição de cena: longas bancadas de uma pequena fábrica têxtil exibem pilhas de camisas artesanais destinadas a um evento beneficente. Para planejar a produção, a gerente formulou a função de lucro diário L(x)= -2x^2 + 120x - 1600, em reais, onde x é a quantidade de dúzias de camisas produzidas. Ela sabe que a forma algébrica dessa função define o formato da curva que representa seu lucro no plano cartesiano e deseja entender quantas vezes essa curva cruza o eixo x para prever os pontos de equilíbrio financeiro.

Analise o texto-base e determine quantas vezes o gráfico da função apresentada intercepta o eixo x.

• ✅ A) O gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos. — Como D = 120^2 -4·(-2)·(-1600) =1600>0, a parábola tem duas raízes reais, cruzando o eixo x duas vezes.
• ❌ B) O gráfico intercepta o eixo x em infinitos pontos. — Parábolas não coincidentes com o eixo têm número finito de interseções; não são infinitas.
• ❌ C) O gráfico intercepta o eixo x em três pontos distintos. — Uma função quadrática não pode ter três raízes reais; no máximo duas.
• ❌ D) O gráfico intercepta o eixo x em nenhum ponto. — Para discriminar D seria negativo, mas D=1600>0, logo há raízes reais.
• ❌ E) O gráfico intercepta o eixo x em um único ponto. — Uma única interceptação ocorre quando D=0, mas aqui D=1600, não zero.

Dica de resolução: calcule as raízes da função quadrática para determinar os pontos de interseção com o eixo x.

Questão 5: determinar a expressão quadrática

— Se a luz crescer rápido demais, o público percebe o “degrau”, explicou a técnica de iluminação ao programar uma faixa de LEDs ao longo da boca de cena. Para suavizar, ela decidiu que a intensidade y (em %) varia com a posição x (em m), medida da extremidade esquerda, seguindo uma função quadrática.

O objetivo era destacar o centro do palco sem alterar a intensidade nas bordas. Assim, foi definido que a maior intensidade ocorre exatamente no meio da faixa, em x = 6, atingindo 100%. Além disso, para manter a mesma ambiência nas laterais, a intensidade nas extremidades deve ser 20%, isto é, y = 20 tanto em x = 0 quanto em x = 12. O software registra o perfil no plano cartesiano, com x no eixo horizontal e y no vertical.

Considere as condições descritas no texto. Determine a expressão algébrica, na forma y = ax^2 + bx + c, que modela a intensidade y em função da posição x.

• ❌ A) y = (-20/9)x^2 + (40/3)x + 20 — Erro no eixo de simetria: b foi calculado como se o centro estivesse em x=3; a parábola fica simétrica em torno de x=3, não de x=6.
• ❌ B) y = (20/9)x^2 - (80/3)x + 20 — Erro de concavidade: mantém o eixo de simetria, mas toma a>0, gerando mínimo no centro, contrariando o máximo de 100%.
• ❌ C) y = (-20/9)x^2 + (80/3)x + 100 — Erro no termo constante: confunde o valor máximo (100) com a interseção em x=0; essa função daria y(0)=100, não 20.
• ✅ D) y = (-20/9)x^2 + (80/3)x + 20 — Vértice em x=6 com máximo 100 implica a<0 e y=a(x-6)^2+100. Usando y(0)=20, obtém-se a=-20/9 e, ao expandir, resulta a expressão.
• ❌ E) y = (-80/9)x^2 + (80/3)x + 20 — Erro ao usar a distância 12 (em vez de 6) no ajuste: o coeficiente a fica com módulo excessivo e o eixo de simetria não fica em x=6.

Dica de resolução: use as condições dadas para montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes da função quadrática.

Questão 6: vértice de uma parábola de antena

Por que antenas parabólicas captam sinais de forma eficiente? A parte lateral de uma antena segue o perfil de uma parábola, o que leva seu eixo de simetria a concentrar sinais no foco. Em um projeto, engenheiros ajustaram a curva segundo a função f(x)=2x^2-8x+5, onde x representa a distância horizontal em metros a partir da borda esquerda do refletor. Essa forma garante que ondas que chegam paralelas ao eixo sejam refletidas ao ponto (h,k), o vértice da parábola.

Analise a representação algébrica apresentada e identifique as coordenadas do vértice da parábola que define o perfil da antena.

• ❌ A) (1,-1) — Escolheu valor de x baseado em raiz quadrada de c/a em vez da fórmula do vértice.
• ❌ B) (4,-11) — Usou x=-b/a=4 em vez de x=-b/(2a), resultando em f(4)=-11, ponto não é vértice.
• ✅ C) (2,-3) — Vértice em x=-b/(2a)=8/(4)=2 e f(2)=2*4-16+5=-3, correspondendo ao ponto (2,-3).
• ❌ D) (2,3) — Calculou f(2) com sinal positivo em vez de negativo, ignorando que 8-16+5=-3.
• ❌ E) (-2,-3) — Inverteu o sinal de b em -b/(2a), levando a x=-2, cálculo incorreto do vértice.

Dica de resolução: use a fórmula do vértice para encontrar as coordenadas (h,k) da parábola.

Próximos passos

Depois de testar as questões em sala, o caminho natural é repetir o padrão com outras habilidades da mesma unidade temática e variar o contexto dos problemas. Para consultar todas as questões ligadas a este código, acesse a consulta completa do código EM13MAT402. Se quiser gerar uma prova nova com esse conteúdo em poucos minutos, use o gerador de provas do GeraProva, e se ainda não tem conta, o cadastro grátis leva menos de dois minutos.

Este material é um apoio para o seu planejamento: revise as questões antes de aplicar e adapte à sua turma. A decisão pedagógica final é sempre sua, e o GeraProva está aqui para economizar tempo na montagem, não para substituir o seu olhar de professor.