— Se a luz crescer rápido demais, o público percebe o “degrau”, explicou a técnica de iluminação ao programar…

Questão

— Se a luz crescer rápido demais, o público percebe o “degrau”, explicou a técnica de iluminação ao programar uma faixa de LEDs ao longo da boca de cena. Para suavizar, ela decidiu que a intensidade y (em %) varia com a posição x (em m), medida da extremidade esquerda, seguindo uma função quadrática. O objetivo era destacar o centro do palco sem alterar a intensidade nas bordas. Assim, foi definido que a maior intensidade ocorre exatamente no meio da faixa, em x = 6, atingindo 100%. Além disso, para manter a mesma ambiência nas laterais, a intensidade nas extremidades deve ser 20%, isto é, y = 20 tanto em x = 0 quanto em x = 12. O software registra o perfil no plano cartesiano, com x no eixo horizontal e y no vertical. Considere as condições descritas no texto. Determine a expressão algébrica, na forma y = ax^2 + bx + c, que modela a intensidade y em função da posição x.

1. A) y = (-20/9)x^2 + (40/3)x + 20
2. B) y = (20/9)x^2 - (80/3)x + 20
3. C) y = (-20/9)x^2 + (80/3)x + 100
4. D) y = (-20/9)x^2 + (80/3)x + 20
5. E) y = (-80/9)x^2 + (80/3)x + 20

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Como y = ax^2 + bx + c e y = 20 quando x = 0, temos c = 20. Passo 2: O vértice da parábola está em x = 6, com y = 100, então a forma vértice é y = a(x - 6)^2 + 100. Passo 3: Em x = 0, y = 20, logo 36a + 100 = 20, o que dá 36a = -80 e a = -80/36 = -20/9. Passo 4: Expandindo, y = -20/9 (x^2 - 12x + 36) + 100 = -20/9 x^2 + 80/3 x - 80 + 100, ou seja, y = -20/9 x^2 + 80/3 x + 20. Passo 5: Conferência: em x = 6, y = -20/9 * 36 + 80/3 * 6 + 20 = -80 + 160 + 20 = 100; em x = 0 e x = 12, y = 20 (em x = 12: -20/9 * 144 + 80/3 * 12 + 20 = -320 + 320 + 20 = 20). Passo 6: Portanto a alternativa D está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois seu vértice fica em x = 3, e não em x = 6. A alternativa B está errada, pois a coeficiente positivo faria a parábola ter ponto de mínimo no centro, contrariando o objetivo de destacar o centro. A alternativa C está errada, pois coloca c = 100, valor do topo, como intensidade inicial. A alternativa E está errada, pois seu a = -80/9 não satisfaz y(0) = 20 com o vértice em x = 6.

💡 Dica: Use as condições dadas para montar um sistema de equações e encontrar os coeficientes da função quadrática.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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