Descrição de cena: longas bancadas de uma pequena fábrica têxtil exibem pilhas de camisas artesanais…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Descrição de cena: longas bancadas de uma pequena fábrica têxtil exibem pilhas de camisas artesanais destinadas a um evento beneficente. Para planejar a produção, a gerente formulou a função de lucro diário L(x)= -2x^2 + 120x - 1600, em reais, onde x é a quantidade de dúzias de camisas produzidas. Ela sabe que a forma algébrica dessa função define o formato da curva que representa seu lucro no plano cartesiano e deseja entender quantas vezes essa curva cruza o eixo x para prever os pontos de equilíbrio financeiro. Analise o texto-base e determine quantas vezes o gráfico da função apresentada intercepta o eixo x.
- A) O gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
- B) O gráfico intercepta o eixo x em infinitos pontos.
- C) O gráfico intercepta o eixo x em três pontos distintos.
- D) O gráfico intercepta o eixo x em nenhum ponto.
- E) O gráfico intercepta o eixo x em um único ponto.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os pontos em que o gráfico cruza o eixo x são os valores de x em que L(x) = 0, ou seja, as raízes da equação -2x^2 + 120x - 1600 = 0. Passo 2: Calculo o discriminante delta = b^2 - 4ac, com a = -2, b = 120 e c = -1600. Temos delta = 120^2 - 4(-2)(-1600) = 14400 - 12800 = 1600. Passo 3: Como delta é positivo, a equação tem duas raízes reais distintas. Passo 4: Confirmo com a fórmula de Bhaskara: x = (-120 ± raiz de 1600) / (2 * (-2)) = (-120 ± 40) / (-4), resultando em x = 20 ou x = 40. Passo 5: Verificação: L(20) = -800 + 2400 - 1600 = 0 e L(40) = -3200 + 4800 - 1600 = 0. Portanto, o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos, o que corresponde à alternativa A, igual ao gabarito oficial. Passo 6: Por que as outras estão erradas: B está errada porque uma função quadrática não nula tem no máximo duas raízes; C está errada porque um polinômio de grau 2 não pode ter três raízes; D está errada porque o discriminante é positivo, e não negativo; E está errada porque um único ponto ocorreria apenas se delta fosse zero, o que não acontece aqui.
💡 Dica: Calcule as raízes da função quadrática para determinar os pontos de interseção com o eixo x.
Alternativa por alternativa
Como D = 120^2 -4·(-2)·(-1600) =1600>0, a parábola tem duas raízes reais, cruzando o eixo x duas vezes.
O aluno pode ter achado que, por ser uma curva contínua, ela toca o eixo x em infinitos pontos, sem considerar que uma função de segundo grau tem no máximo duas raízes.
Por que engana: Confundir o número de raízes reais da função quadrática, interpretando mal o discriminante ou a forma da parábola.
O aluno pode ter acreditado que a parábola cruza o eixo x três vezes, talvez confundindo o vértice ou o coeficiente 120 com uma raiz extra, sem lembrar que o grau 2 limita a duas raízes.
O aluno pode ter errado o sinal no cálculo do discriminante, por exemplo tratando -4ac como negativo, e concluído que delta é negativo e não há raízes reais.
O aluno pode ter errado o sinal de 4ac e obtido delta igual a zero, concluindo que há uma única raiz (vértice tangente ao eixo x), quando na verdade delta é 1600.
Raio-X da questão
função quadrática e raízes
avaliacao
função quadrática · fórmula de Bhaskara
Estude como calcular raízes de funções quadráticas usando a fórmula de Bhaskara.
Confundir o número de raízes reais da função quadrática, interpretando mal o discriminante ou a forma da parábola.
tomada_decisao
cotidiano
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