Atividades sobre Competências da área (1ª série, 2ª série, 3ª série) com gabarito — 1ª série, 2ª série, 3ª série, ENEM, FUVEST, UEL, UNESP (EM13MAT304)

Quando recebo o código EM13MAT304 no planejamento do bimestre, a primeira sensação é de que ele fala de tudo ao mesmo tempo: crescimento populacional, juros, decaimento. Preciso transformar aquela frase técnica da BNCC em uma aula que os alunos entendam e em uma avaliação que realmente meça o que ensinei.

Foi assim que comecei a montar meu material, pensando nos meus alunos da 2ª série e na preparação para o ENEM e os vestibulares paulistas e paranaenses. O resultado está neste texto, com ideias que testei na sala e questões que você pode usar já amanhã.

O que a habilidade EM13MAT304 pede, de verdade?

Na prática, a habilidade quer que o aluno saiba resolver e elaborar problemas com funções exponenciais, entendendo como as grandezas variam ao longo do tempo. Não basta calcular: é preciso interpretar o que a variação significa no contexto, seja ele uma aplicação financeira, o crescimento de uma cultura de bactérias ou a intensidade de luz em um lago.

"Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros."

Ou seja, o foco está em dois movimentos: resolver (aplicar a função e a equação) e elaborar (o aluno criar um problema coerente com uma situação dada). Quando um aluno consegue explicar por que a população dobra em um intervalo fixo de tempo, ele já demonstra compreensão da variação exponencial, e não apenas memorização de fórmula.

Como trabalhar EM13MAT304 em sala?

Algumas ideias que funcionaram para mim, sem precisar de material caro:

• Simulação com papel dobrável: dobre uma folha ao meio várias vezes e registre a quantidade de camadas a cada dobra. Os alunos percebem o crescimento exponencial e comparam com o linear.
• Simulação de juros no caderno: escolha um valor inicial e uma taxa fictícia, e peça que calculem o montante ano a ano. Depois, comparem com a versão de juros simples.
• Culturas de bactérias no quadro: dê uma tabela com dados de crescimento e peça que modelem a função. Discuta por que o modelo deixa de valer depois de certo ponto.
• Problema elaborado pelo aluno: peça que criem um enunciado a partir de uma função dada, trocando o contexto (cidade, vírus, aplicação). Isso treina a parte de "elaborar" da habilidade.

Como avaliar essa habilidade?

Uma boa questão desse código precisa cobrar a interpretação da variação, não só o cálculo. Quando o aluno chega ao número certo mas não sabe dizer se a grandeza está aumentando ou diminuindo, a avaliação falhou. Procuro sempre perguntar o significado do resultado no contexto.

Erros comuns que vejo na correção: trocar logaritmo de base 10 pelo natural, confundir taxa de variação com valor acumulado (como ler o dia de maior crescimento como o dia de maior quantidade) e aproximar valores cedo demais, o que muda o resultado final. Vale dar questões em que essas armadilhas aparecem de propósito.

Questões prontas de EM13MAT304 (com gabarito comentado)

Questão 1: crescimento de microalgas em estufa

No interior de uma estufa de pesquisa, amostras de microalgas são cultivadas em tanques com nutrientes balanceados. Os pesquisadores mediram que a população inicial de 500 mil células cresceu para 1000 mil em 3 horas e para 2000 mil em 6 horas. A análise dos dados permitiu modelar a variação da população em função do tempo t (em horas) pela função N(t)=500 e^(0,231t), em que N(t) é a quantidade, em mil células, no instante t. Com esse modelo, estimativas de tempo para atingir certos níveis populacionais tornam-se possíveis. Dados ilustrativos.

Analise o texto e determine em quantas horas, a partir do início do experimento, a população de microalgas alcançará 4000 mil células.

• ❌ A) 10 horas — Arredonda de forma imprecisa o valor de ln 8 ou usa coeficiente incorreto.
• ❌ B) 6 horas — Confunde o tempo para 2000 mil células (6 h) com o de 4000 mil células.
• ✅ C) 9 horas — Resolve 500 e^(0,231t)=4000 ⇒ e^(0,231t)=8 ⇒ 0,231t=ln 8 ≈ 2,079 ⇒ t≈9 h.
• ❌ D) 12 horas — Considera 4000 como 8000 (dobro de 2000 duas vezes), gerando t para 8000 mil.
• ❌ E) 8 horas — Usa logaritmo de base 10 em vez de ln, resultando em t errado.

Questão 2: potências de φ e a proporção áurea

Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ²=φ+1. Assim como a potência φ², as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.

ENEM - 2021 A potência φ⁷, escrita na forma aφ+b (a e b são inteiros positivos), é

• ❌ A) 5φ+3 — 5φ + 3 não corresponde à expressão correta para φ⁷, pois não segue a relação de recorrência estabelecida.
• ❌ B) 7φ+2 — 7φ + 2 não é a forma correta, pois não respeita a relação de Fibonacci derivada da proporção áurea.
• ❌ C) 9φ+6 — 9φ + 6 não é a representação correta, pois não se alinha com a sequência de potências de φ.
• ❌ D) 11φ+7 — 11φ + 7 está incorreta, pois não resulta da aplicação correta da fórmula para potências de φ.
• ✅ E) 13φ+8 — 13φ + 8 é a forma correta para φ⁷, seguindo a relação de Fibonacci e a definição da proporção áurea.

Questão 3: intensidade luminosa no lago

Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo X com a sua superfície, conforme indica a figura. Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por I(x) = k . sen(x), sendo k uma constante, e supondo-se que X está entre 0° e 90º. Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?

ENEM - 2017 Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual de seu valor máximo?

• ❌ A) 33% — A intensidade em 30° é I(30) = k · sen(30°) = k · 0,5, que é 50% do máximo, portanto está errada.
• ✅ B) 50% — Correta. A intensidade em 30° é 50% do valor máximo, pois sen(30°) = 0,5.
• ❌ C) 57% — Errada. A intensidade em 30° é 50%, não 57%.
• ❌ D) 70% — Errada. A intensidade em 30° é 50%, não 70%.
• ❌ E) 86% — Errada. A intensidade em 30° é 50%, não 86%.

Questão 4: prestação do empréstimo para a viagem

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula indicada na figura. Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

ENEM - 2017 De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

• ❌ A) 12 — 12 parcelas resultam em uma prestação maior que R$ 400,00, portanto está errada.
• ❌ B) 14 — 14 parcelas ainda resultam em uma prestação acima de R$ 400,00, portanto está errada.
• ❌ C) 15 — 15 parcelas ainda ultrapassam o limite de R$ 400,00, portanto está errada.
• ✅ D) 16 — 16 parcelas resultam em uma prestação de R$ 399,00, que está dentro do limite, portanto está correta.
• ❌ E) 17 — 17 parcelas ainda resultam em uma prestação acima de R$ 400,00, portanto está errada.

Questão 5: tempo mínimo para o reservatório esvaziar

ENEM - 2016 Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade?

• ✅ A) 2 meses e meio. — Certa. O reservatório atinge o nível zero em 2 meses e meio após o sexto mês.
• ❌ B) 3 meses e meio. — Errada. 3 meses e meio é tempo excessivo para atingir o nível zero.
• ❌ C) 1 mês e meio. — Errada. 1 mês e meio não é suficiente para atingir o nível zero.
• ❌ D) 4 meses. — Errada. 4 meses é mais tempo do que o necessário para o nível zero.
• ❌ E) 1 mês. — Errada. 1 mês é insuficiente para que o reservatório atinja o nível zero.

Questão 6: dia de maior quantidade de bactérias

ENEM - 2014 Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima?

• ❌ A) Terça-feira. — Provavelmente leu a curva de forma aproximada e tomou um valor anterior ou um pico local como o máximo da semana, sem comparar todos os dias.
• ❌ B) Quarta-feira. — Associou o dia de maior crescimento da curva ao dia de maior quantidade total de bactérias, confundindo taxa de variação com valor acumulado.
• ❌ C) Quinta-feira. — Deslocou a leitura para o dia seguinte ao pico, por erro ao corresponder o ponto do gráfico ao eixo dos dias.
• ✅ D) Sexta-feira. — Dia em que a quantidade total de bactérias atinge o maior valor da semana.
• ❌ E) Domingo. — Supôs que a quantidade de bactérias cresce continuamente até o fim da semana, escolhendo o último dia sem verificar os valores registrados.

Considerações finais e próximos passos

Para aprofundar o trabalho com EM13MAT304, sugiro começar por uma sequência de duas ou três aulas: uma de simulação, uma de modelagem com dados e uma de elaboração de problemas pelos alunos. Depois, aplique uma avaliação com questões como as acima. Você pode consultar todas as questões alinhadas ao código na consulta completa do código EM13MAT304.

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As questões deste texto são exemplos de referência para estudo e planejamento; confira sempre o contexto da sua turma antes de aplicar. Bom trabalho na sala!