No interior de uma estufa de pesquisa, amostras de microalgas são cultivadas em tanques com nutrientes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No interior de uma estufa de pesquisa, amostras de microalgas são cultivadas em tanques com nutrientes balanceados. Os pesquisadores mediram que a população inicial de 500 mil células cresceu para 1000 mil em 3 horas e para 2000 mil em 6 horas. A análise dos dados permitiu modelar a variação da população em função do tempo t (em horas) pela função N(t)=500 e^(0,231t), em que N(t) é a quantidade, em mil células, no instante t. Com esse modelo, estimativas de tempo para atingir certos níveis populacionais tornam-se possíveis. Dados ilustrativos. Analise o texto e determine em quantas horas, a partir do início do experimento, a população de microalgas alcançará 4000 mil células.
- A) 10 horas
- B) 6 horas
- C) 9 horas
- D) 12 horas
- E) 8 horas
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. Queremos o instante t em que N(t) = 4000, pois a população é medida em mil células. Então 500 e^(0,231t) = 4000. Passo 2: Dividindo os dois lados por 500, obtemos e^(0,231t) = 8. Passo 3: Aplicando o logaritmo natural nos dois lados, 0,231t = ln 8. Como ln 8 é aproximadamente 2,079, temos t = 2,079 / 0,231, que é aproximadamente 9,0 horas. Passo 4: Conferência pelos dados do enunciado: a população dobra a cada 3 horas (de 500 para 1000 mil em 3 horas, e de 1000 para 2000 mil nas 3 horas seguintes). Como 4000 = 500 x 2 x 2 x 2, são três duplicações, ou seja, 3 x 3 = 9 horas. Isso confirma o resultado. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) 10 horas aparece se ln 8 for aproximado por 2,3, o que dá cerca de 9,96 horas, mas o valor correto é cerca de 9,0. B) 6 horas é o instante em que a população chega a 2000 mil, não a 4000 mil. D) 12 horas seria correto se a população dobrasse a cada 6 horas, mas o enunciado mostra duplicação a cada 3 horas. E) 8 horas surge ao confundir a razão 4000/500 = 8 com o tempo pedido. Passo 6: Gabarito oficial C confere com a resolução.
💡 Dica: Use a função dada para resolver a equação N(t)=4000 e encontre t.
Alternativa por alternativa
Provavelmente aproximou ln 8 por 2,3 (confundindo com ln 10) e obteve 2,3 / 0,231 aproximadamente 10 horas. Errou no cálculo do logaritmo, não na modelagem.
Leu o instante de 2000 mil células (6 horas, dado do enunciado) como se fosse a resposta para 4000 mil. Respondeu a outra pergunta, sem resolver a equação.
Resolve 500 e^(0,231t)=4000 ? e^(0,231t)=8 ? 0,231t=ln 8 ˜2,079 ? t˜9 h.
Supôs que a população dobra a cada 6 horas e somou mais 6 horas aos 6 horas em que chegou a 2000 mil. Ignorou que a duplicação ocorre a cada 3 horas, conforme os dados.
Tomou a razão 4000/500 = 8 como se fosse o tempo em horas, sem usar o expoente da função exponencial.
Por que engana: O aluno pode confundir a base da função exponencial ou esquecer de aplicar o logaritmo para isolar o tempo t.
Raio-X da questão
função exponencial crescimento
avaliacao
função exponencial · logaritmos
Estude funções exponenciais e resolução de equações exponenciais.
O aluno pode confundir a base da função exponencial ou esquecer de aplicar o logaritmo para isolar o tempo t.
tomada_decisao
cientifico
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