Atividades de Pitágoras e proporcionalidade para a 1ª série do Ensino Médio com gabarito

Na minha experiência de sala de aula, Pitágoras é um daqueles assuntos que parecem simples até o aluno precisar aplicá-lo num problema que não cabe na fórmula decorada. Na 1ª série, quando trabalho Relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração, junto com Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais, costumo sentir que a turma entende a ideia, mas trava na hora de identificar qual relação usar.

Por isso preparei este material pensando no professor que precisa de questões prontas, com gabarito comentado, para a 1ª série do Ensino Médio. Os exercícios abaixo cobrem cálculo de distâncias no plano cartesiano, relações métricas, semelhança e proporcionalidade, sempre com explicações do raciocínio por trás de cada alternativa.

O que o aluno de 1ª série precisa saber sobre Relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e proporcionalidade

O ponto central é reconhecer, num triângulo retângulo, quem são os catetos e quem é a hipotenusa, e então aplicar a relação entre eles. O Teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Já as relações métricas envolvem a altura relativa à hipotenusa e as projeções dos catetos sobre ela. Quando o aluno entende que essas relações são consequência da semelhança entre triângulos, ele deixa de decorar fórmulas e passa a deduzi-las. Nas questões que reúnem distância no plano cartesiano e proporcionalidade entre segmentos de retas paralelas cortadas por uma transversal, a mesma lógica aparece: comparar razões e relacionar medidas. Trabalhar esse entendimento de forma concreta ajuda muito a fixação.

O que ele precisa saber antes

Antes de aplicar Pitágoras em problemas mais elaborados, o aluno precisa dominar operações com números inteiros, potenciação e raiz quadrada, além de conseguir identificar corretamente os lados de um triângulo. Também é importante que ele saiba calcular proporções e trabalhar com porcentagens, já que algumas questões envolvem acréscimos e conversões de unidades. Quando esses pré-requisitos estão frágeis, o erro costuma aparecer na conta, e não no conceito geométrico em si.

Onde os alunos mais erram

O erro mais recorrente que observo é o aluno somar diretamente os comprimentos dos catetos, ou confundir a soma dos quadrados com a medida da hipotenusa, esquecendo de extrair a raiz quadrada. Em problemas de distância no plano cartesiano, a troca de sinais nas diferenças das coordenadas e o esquecimento da raiz também são frequentes. Outro ponto de atenção é usar a projeção como se fosse o próprio lado, sem montar o triângulo auxiliar. Quando o aluno percebe que cada projeção funciona como um cateto de um novo triângulo retângulo, muitas dessas confusões desaparecem.

Como trabalhar em sala

• Peça que os alunos desenhem o triângulo auxiliar antes de qualquer cálculo, marcando catetos e hipotenusa com cores diferentes.
• Use uma folha quadriculada para verificar distâncias no plano cartesiano contando os quadradinhos antes de aplicar a fórmula.
• Proponha que a turma meça, com régua, os lados de triângulos desenhados no caderno e verifique se a soma dos quadrados confere.
• Em retas paralelas cortadas por transversais, peça que os alunos desenhem duas transversais e comparem as razões entre os segmentos correspondentes.
• Ao final, peça que cada aluno invente um problema curto com um dos conceitos e troque com o colega para resolver.

Questões prontas de Relações métricas no triângulo retângulo, Teorema de Pitágoras e proporcionalidade para a 1ª série do Ensino Médio (com gabarito comentado)

Use as questões abaixo como base para sua prova ou lista de exercícios. Cada uma traz as alternativas com o gabarito e a explicação do motivo de cada escolha. Se quiser ver mais exercícios da mesma habilidade, acesse questões da habilidade EM13MAT308.

Questão 1: ponto médio e distância no plano cartesiano

No plano cartesiano, sejam E(2, -1) e F(-4, 3). Calcule: a) o ponto médio M de EF; b) a distância EF. Apresente respostas exatas.

• ✅ A) Ponto médio M(-1, 1); distância EF = 2√13. — Correta: M = ((2+(-4))/2, (-1+3)/2) = (-1, 1) e EF = √[(2-(-4))² + (-1-3)²] = √(36+16) = √52 = 2√13.
• ❌ B) Ponto médio M(1, -1); distância EF = 2√10. — Errada: o ponto médio foi calculado com erro de sinal e a fórmula da distância foi aplicada incorretamente. Este é o distrator mais provável, justamente pelo erro de sinal.
• ❌ C) Ponto médio M(2, 3); distância EF = √52. — Errada: o ponto médio não corresponde à média das coordenadas; a distância está na forma correta, mas o restante não.
• ❌ D) Ponto médio M(2, -2); distância EF = 3√13. — Errada: as coordenadas de M estão erradas e a distância não corresponde a √52.
• ❌ E) Ponto médio M(0, 0); distância EF = 5. — Errada: M não considera as coordenadas corretas e a distância foi calculada sem a fórmula adequada.

Questão 2: relações métricas com AB, AD e DC

No triângulo retângulo ABC o ângulo reto está em B. A altura BD até a hipotenusa AC divide AC em AD = 3x e DC = 2x+1. Sabe-se que AB = 4x. Determine x e as medidas de AB, BC e AC.

• ❌ A) x = 2, AB = 8, AC = 10, BC = 6√7. — Errada: não satisfaz a relação métrica AB² = AD·AC. É o distrator mais provável, porque o aluno tende a igualar AB a uma das medidas sem montar a equação.
• ❌ B) x = 4, AB = 16, AC = 20, BC = 8√7. — Errada: a proporção não se aplica aos dados iniciais do triângulo.
• ❌ C) x = 7, AB = 28, AC = 30, BC = 12√7. — Errada: os valores não respeitam a relação entre projeções e hipotenusa.
• ✅ D) x = 3; AB = 12; AC = 16; BC = 4√7. — Correta: AC = AD + DC = 3x + (2x+1) = 5x+1. Usando AB² = AD·AC, temos 16x² = 3x(5x+1), logo 16x² = 15x² + 3x, então x² = 3x e x = 3. Assim AB = 12, AC = 16 e, por Pitágoras, BC = √(AC² − AB²) = √(256 − 144) = √112 = 4√7.
• ❌ E) x = 5, AB = 20, AC = 25, BC = 10√7. — Errada: os valores calculados não respeitam a relação do triângulo retângulo.

Questão 3: projeções ortogonais em vistas

Em vistas ortogonais, a projeção na planta (vista superior) de um segmento AB mede 8 cm e a projeção na elevação (vista frontal) mede 15 cm. Calcule o comprimento real |AB|.

• ❌ A) |AB| = 7 cm. — Errada: subestima o comprimento real e ignora a relação entre as projeções.
• ❌ B) |AB| = 10 cm. — Errada: não considera as projeções como catetos de um triângulo retângulo.
• ✅ C) |AB| = √(8²+15²) = 17 cm. — Correta: as projeções são catetos de um triângulo cuja hipotenusa é o comprimento real: √(64+225) = √289 = 17.
• ❌ D) |AB| = 20 cm. — Errada: superestima o comprimento, já que a hipotenusa é menor que a soma dos catetos.
• ❌ E) |AB| = √(23²) = 23 cm. — Errada: é o distrator mais provável, pois o aluno soma as projeções em vez de tratá-las como catetos.

Questão 4: conferindo a hipotenusa de um triângulo

Em uma feira de ciências, um grupo apresentou um triângulo retângulo com catetos de 10 cm e 10 cm. Eles disseram que a hipotenusa seria 20 cm. — Considerando a relação de Pitágoras, essa conclusão está correta?

• ✅ A) Não. A hipotenusa mede aproximadamente 14,1 cm, pois o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. — Correta: √(10²+10²) = √200 = 10√2, aproximadamente 14,1 cm.
• ❌ B) Não. Em um triângulo retângulo com catetos iguais, a hipotenusa também mede 10 cm. — Errada: catetos iguais não implicam hipotenusa igual; o quadrado dela é 10²+10².
• ❌ C) Não. A hipotenusa mede 30 cm, pois se somam três vezes as medidas dos catetos. — Errada: a soma 10 + 10 + 10 não calcula a hipotenusa.
• ❌ D) Não. A hipotenusa mede 100 cm, pois se multiplica a medida dos catetos. — Errada: o produto 10 × 10 não corresponde à hipotenusa.
• ❌ E) Não. A hipotenusa mede 200 cm, pois se somam os quadrados dos catetos. — Errada: é o distrator mais provável, pois 200 é o quadrado da hipotenusa, e o aluno esquece de extrair a raiz.

Questão 5: semelhança e diagonal de um painel

Uma UBS vai trocar um painel retangular por outro geometricamente semelhante, para caber mais informações. Observe a figura: o painel novo terá altura de 30 cm. De acordo com as medidas mostradas, qual será a diagonal do novo painel?

• ❌ A) 42 cm. — Errada: não preserva a razão entre base e altura do retângulo.
• ❌ B) 45 cm. — Errada: mistura soma de lados com ampliação, sem usar semelhança e Pitágoras.
• ❌ C) 48 cm. — Errada: escala uma medida, mas erra o cálculo da nova diagonal.
• ✅ D) 50 cm. — Correta: a altura cresce por fator 30/18 = 5/3; a base vira 40 cm e a diagonal, 50 cm.
• ❌ E) 60 cm. — Errada: dobra a diagonal indevidamente, sem respeitar o fator real de semelhança.

Questão 6: relações geométricas em duas experiências

Em laboratório de geometria, estudantes montaram dois modelos. No primeiro, mediram um triângulo retângulo com lados 3 cm, 4 cm e 5 cm. No segundo, desenharam duas paralelas cortadas por uma transversal e observaram que os segmentos correspondentes eram 2 cm e 8 cm em uma parte, e 3 cm e 12 cm em outra. — O que as duas experiências têm em comum do ponto de vista matemático?

• ❌ A) As duas experiências indicam que, em geometria, basta comparar medidas de lados para concluir que os resultados dependem apenas da soma dos comprimentos observados. — Errada: é o distrator mais provável, pois troca uma relação geométrica específica por uma regra geral de soma, que não descreve nem Pitágoras nem a proporcionalidade.
• ✅ B) As duas experiências confirmam relações geométricas estáveis, pois a primeira valida o teorema de Pitágoras e a segunda mostra a proporcionalidade entre segmentos determinados por paralelas e transversal. — Correta: em ambos os casos há uma relação geométrica estável, nomeada corretamente em cada experimento.
• ❌ C) As duas experiências mostram apenas que os instrumentos de medida foram usados corretamente, sem relação com princípios matemáticos mais amplos. — Errada: o objetivo era evidenciar propriedades matemáticas, não apenas validar o uso de instrumentos.
• ❌ D) As duas experiências demonstram que toda figura plana com medidas conhecidas permite calcular sua área diretamente. — Errada: extrapola os dados, que tratam de propriedades específicas, não de cálculo geral de áreas.
• ❌ E) As duas experiências comprovam que triângulos retângulos e retas paralelas sempre produzem figuras congruentes quando as medidas são inteiras. — Errada: congruência não é o foco nem consequência dessas experiências.

Questão 7: trajeto de ônibus no plano cartesiano

Na planta de mobilidade de um campus federal, a figura no plano cartesiano mostra o trajeto atual de ônibus de A até C pelas vias AB e BC. Um corredor reto ligará A a C. Sabendo que 1 unidade do plano corresponde a 200 m, qual será a redução de percurso por viagem?

• ✅ A) 1,2 km. — Correta: AB = 12, BC = 9 e AC = 15. A economia é 12 + 9 − 15 = 6 unidades, isto é, 1200 m = 1,2 km.
• ❌ B) 0,6 km. — Errada: divide a economia por 2, como se só metade do trajeto fosse substituída.
• ❌ C) 3,0 km. — Errada: converte apenas o trecho reto AC e confunde redução com novo percurso.
• ❌ D) 4,2 km. — Errada: converte o trajeto antigo total, sem comparar com o novo corredor reto.
• ❌ E) 6,0 km. — Errada: lê a diferença em unidades como se já estivesse em quilômetros.

Questão 8: calhas em cobertura triangular

Em um ponto de coleta seletiva, a cobertura lateral tem contorno triangular igual ao da figura no plano cartesiano. Calhas serão instaladas apenas nos lados congruentes AB e BC, com 5% a mais para emendas. Se cada barra tem 6 m, quantas barras são necessárias?

• ❌ A) 2 barras. — Errada: considera apenas um lado inclinado, ignorando o outro lado congruente.
• ❌ B) 3 barras. — Errada: usa os 20 m dos lados, mas ignora os 5% extras e arredonda para baixo.
• ✅ C) 4 barras. — Correta: AB = BC = 10 m; com 5% extra, são 21 m. Dividindo por 6, são 4 barras.
• ❌ D) 5 barras. — Errada: erra o cálculo dos lados inclinados e superestima o total necessário.
• ❌ E) 6 barras. — Errada: inclui a base AC no cálculo, embora as calhas sejam só em AB e BC.

Próximos passos

Com essas questões em mãos, você pode montar uma lista de revisão ou uma avaliação rápida. Se preferir gerar novas versões com outros valores, use o gerador de provas do GeraProva, e se ainda não tem conta, faça seu cadastro grátis para começar.

Estas questões são um ponto de partida para o seu planejamento. Ajuste os enunciados ao nível da sua turma e confira sempre o gabarito antes de aplicar. Bom trabalho em sala!