No triângulo retângulo ABC o ângulo reto está em B. A altura BD até a hipotenusa AC divide AC em AD = 3x e DC…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC o ângulo reto está em B. A altura BD até a hipotenusa AC divide AC em AD = 3x e DC = 2x+1. Sabe-se que AB = 4x. Determine x e as medidas de AB, BC e AC.
- A) x = 2, AB = 8, AC = 10, BC = 6v7.
- B) x = 4, AB = 16, AC = 20, BC = 8v7.
- C) x = 7, AB = 28, AC = 30, BC = 12v7.
- D) x = 3; AB = 12; AC = 16; BC = 4v7.
- E) x = 5, AB = 20, AC = 25, BC = 10v7.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Na hipotenusa AC, a soma dos segmentos é AC = AD + DC = 3x + (2x+1) = 5x + 1. Passo 2: No triângulo retângulo, o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela sua projeção sobre ela, logo AB^2 = AD · AC. Passo 3: Substituindo AB = 4x, obtemos 16x^2 = 3x(5x+1), ou seja, 16x^2 = 15x^2 + 3x, então x^2 - 3x = 0 e x(x-3) = 0. Como AB = 4x é uma medida positiva, x é diferente de 0, portanto x = 3. Passo 4: Com x = 3, temos AB = 12, AD = 9, DC = 7 e AC = 16. Passo 5: Para BC, use a relação BC^2 = DC · AC = 7 · 16 = 112, ou Pitágoras: BC^2 = AC^2 - AB^2 = 256 - 144 = 112. Assim BC = raiz de 112 = 4 raiz de 7. Passo 6: Verificação: AB^2 + BC^2 = 144 + 112 = 256 = AC^2. Passo 7: Por que as outras estão erradas: nas alternativas A (x = 2), B (x = 4) e E (x = 5) a hipotenusa foi tomada como AC = 5x, esquecendo o +1 de DC; na alternativa C (x = 7), a relação AB^2 = AD · AC não se verifica, pois 784 é diferente de 21 · 36 = 756. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Use as relações métricas no triângulo retângulo e, em seguida, aplique o teorema de Pitágoras.
Alternativa por alternativa
Somou os segmentos da hipotenusa como AC = 5x, esquecendo o +1 de DC. Com isso a medida de AC fica errada e a relação métrica não se verifica (64 diferente de 6 · 10).
Por que engana: O aluno pode igualar diretamente AB à hipotenusa ou usar incorretamente as projeções na relação métrica, encontrando um valor de x incompatível com as medidas pedidas.
Considerou AC = 5x, desconsiderando a constante +1 de DC, o que altera a equação que determina x.
Montou ou resolveu incorretamente a relação métrica do cateto (AB^2 = AD · AC), chegando a um valor de x que não satisfaz a equação original.
Para triângulo retângulo: AB² = AD·AC. Aqui AC = AD+DC = 3x + (2x+1)=7x+1. Então (4x)² = 3x(7x+1) ?16x² =21x²+3x ?0=5x²+3x ?corrigir sinal: calcular corretamente: 16x² = 21x²+3x ?5x²+3x=0 ?x(5x+3)=0. (Revisão:) (ver passos abaixo). Ajustando a modelagem correta obtém-se x=3, AC=16, AB=12, e BC=v(DC·AC)=v(7·16)=v112=4v7.
Usou AC = 5x, ignorando o +1 de DC na soma dos segmentos da hipotenusa, e por isso obteve x = 5.
Raio-X da questão
Relações métricas no triângulo retângulo
avaliacao
Relações métricas no triângulo retângulo · Resolução de equações lineares
Revise as relações entre os catetos, a hipotenusa e suas projeções, além do teorema de Pitágoras.
O aluno pode igualar diretamente AB à hipotenusa ou usar incorretamente as projeções na relação métrica, encontrando um valor de x incompatível com as medidas pedidas.
tomada_decisao
abstrato
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