Durante um treinamento dos bombeiros, uma equipe usa um emblema triangular para marcar posições num mapa…

Questão

Durante um treinamento dos bombeiros, uma equipe usa um emblema triangular para marcar posições num mapa quadriculado. No esquema, o emblema é girado 180 graus primeiro em torno de O(0, 0) e depois em torno de P(4, 1). Uma rotação de 180 graus em torno de um ponto leva cada ponto ao outro lado desse centro, à mesma distância. Observe o esquema descrito e determine qual transformação única produz o mesmo efeito da sequência aplicada ao emblema.

1. A) Uma translação pelo vetor (8, 2), sem mudar o tamanho nem a orientação do emblema
2. B) Uma translação pelo vetor (8, 1), sem mudar o tamanho nem a orientação do emblema
3. C) Uma translação pelo vetor (4, 1), sem mudar o tamanho nem a orientação do emblema
4. D) Uma rotação de 180 graus em torno de P(4, 1), sem mudar o tamanho do emblema
5. E) Uma translação pelo vetor (4, 2), sem mudar o tamanho nem a orientação do emblema

✅ Resposta correta: alternativa A

Resolução passo a passo

1. Uma rotação de 180 graus em torno de um ponto C leva cada ponto X ao ponto X' tal que C é o ponto médio de XX', ou seja, X' = 2C - X.
2. Aplicamos primeiro a rotação em torno de O(0, 0). Um ponto (x, y) vai para (-x, -y).
3. Em seguida, aplicamos a rotação em torno de P(4, 1). O ponto (-x, -y) vai para (2*4 - (-x), 2*1 - (-y)) = (8 + x, 2 + y).
4. Portanto, o efeito combinado é somar (8, 2) a cada ponto, o que é uma translação pelo vetor (8, 2), sem alterar tamanho nem orientação, pois composições de rotações de 180 graus são isometrias diretas que, aqui, resultam em translação.
5. Verificação das alternativas erradas: a alternativa B usa (8, 1), mas a componente vertical é 2*1 = 2, não 1; a alternativa C usa (4, 1), que é apenas a posição de P, não o dobro dela; a alternativa D descreve uma rotação, que não é o efeito de duas rotações de 180 graus com centros diferentes; a alternativa E usa (4, 2), que corresponderia a valores errados nas coordenadas do vetor.
6. Conclusão: a alternativa correta é a A, que coincide com o gabarito oficial.

💡 Dica: Duas rotações de 180 graus com centros diferentes equivalem a uma translação pelo dobro do vetor entre os centros: 2·(P-O) = (8, 2).

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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