No desenho de um campo de futebol de várzea, um triângulo de marcação tem vértices A(1, 2), B(4, 2) e C(2, 5)…

Questão

No desenho de um campo de futebol de várzea, um triângulo de marcação tem vértices A(1, 2), B(4, 2) e C(2, 5), em um plano cartesiano. Um responsável propõe girar a figura 90 graus no sentido horário em torno da origem e, depois, refletir o resultado no eixo x. Ele afirma que inverter a ordem dessas duas transformações não altera a posição final do triângulo. Considerando o texto, como essa afirmação deve ser avaliada? Determine as coordenadas dos vértices finais nas duas ordens de transformação e justifique sua conclusão.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

A afirmação é falsa. Girando primeiro 90 graus no sentido horário, cada ponto (x, y) passa a (y, -x); refletindo depois no eixo x, passa a (y, x). Assim, os vértices ficam A'(2, 1), B'(2, 4) e C'(5, 2). Na ordem inversa, a reflexão transforma (x, y) em (x, -y) e a rotação seguinte leva o ponto a (-y, -x), resultando em A''(-2, -1), B''(-2, -4) e C''(-5, -2). Como as coordenadas finais são diferentes, a ordem das transformações altera a posição do triângulo.

Explicação

A rotação horária e a reflexão no eixo x não são comutativas: aplicar uma depois da outra em ordens diferentes produz coordenadas distintas para os vértices.

Raio-X da questão

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