Em um antigo caminho de montanha, duas trilhas retas partem de um mesmo ponto e formam um ângulo. Para…

Questão

Em um antigo caminho de montanha, duas trilhas retas partem de um mesmo ponto e formam um ângulo. Para sinalizar a bifurcação, um grupo quer instalar um marco que fique à mesma distância das duas trilhas, medindo a distância perpendicular até cada uma. Em que linha deve ser instalado o marco para atender à condição descrita? Explique por que essa linha garante distâncias iguais às duas trilhas.

1. A) O marco deve ser instalado na perpendicular a uma das trilhas, passando pelo ponto de partida. Essa linha garante a mesma distância às duas trilhas porque é perpendicular à primeira.
2. B) O marco deve ser instalado em uma linha perpendicular às duas trilhas. Essa linha garante distâncias iguais porque forma ângulos retos com os dois lados do ângulo.
3. C) O marco deve ser instalado na bissetriz do ângulo formado pelas trilhas. Os pontos da bissetriz, no interior do ângulo, estão à mesma distância perpendicular de seus dois lados; assim, o marco ficará igualmente distante das duas trilhas.
4. D) O marco deve ser instalado na linha que divide o ângulo em duas partes de tamanhos diferentes. Essa linha garante distâncias iguais porque atravessa a região entre as duas trilhas.
5. E) O marco deve ser instalado em uma linha paralela a uma das trilhas. Como a distância entre linhas paralelas é constante, essa linha garante que o marco fique à mesma distância das duas trilhas.

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique a condição do problema. As duas trilhas são retas que partem de um mesmo ponto (o vértice do ângulo). O marco deve estar à mesma distância perpendicular das duas trilhas, ou seja, a distância de cada ponto do marco até cada trilha, medida na perpendicular, deve ser igual.
2. Lembre o conceito de lugar geométrico. O conjunto dos pontos do interior de um ângulo que estão à mesma distância de seus dois lados é a bissetriz do ângulo. Isso vale para qualquer ângulo não nulo e não raso.
3. Justifique por que a bissetriz garante a igualdade. Tome um ponto P sobre a bissetriz e trace as perpendiculares de P aos dois lados. Os triângulos formados têm a hipotenusa OP em comum, e os ângulos em O são iguais pela bissetriz. Pelo caso LAA (ângulo, ângulo, lado oposto), os triângulos são congruentes, logo as distâncias de P aos dois lados são iguais.
4. Por que as outras alternativas estão erradas. A: a perpendicular a uma trilha só garante distância zero até essa trilha, e a distância até a outra não é igual. B: uma linha perpendicular às duas trilhas não pode ser perpendicular a ambas, pois as trilhas formam um ângulo não nulo, e mesmo assim não estaria equidistante. D: dividir o ângulo em partes desiguais não garante distâncias iguais, pois a distância depende do ângulo com cada lado. E: uma paralela a uma trilha está a distância constante dela, mas a distância até a outra trilha varia ao longo da linha, então não há igualdade.
5. Conclusão. O marco deve ficar na bissetriz do ângulo formado pelas trilhas, alternativa C.

💡 Dica: Procure o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados de um ângulo.

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