Em um mapa quadriculado, dois sensores de uma reserva ficam nos pontos A = (0, 0) e B = (10, 0), em metros…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em um mapa quadriculado, dois sensores de uma reserva ficam nos pontos A = (0, 0) e B = (10, 0), em metros. Uma equipe instala um repetidor no ponto médio entre eles e considera deslocá-lo 3 metros para o norte, em linha perpendicular ao segmento AB. Com base no esquema, que consequência esse deslocamento terá sobre as distâncias do repetidor aos dois sensores?
- A) A distância até B aumentará, enquanto a distância até A permanecerá igual, pois o repetidor se deslocará para o norte.
- B) As distâncias deixarão de ser iguais, pois o repetidor sairá da posição central entre os sensores.
- C) A distância até A aumentará, enquanto a distância até B permanecerá igual, pois o repetidor se deslocará para o norte.
- D) As distâncias continuarão iguais e terão a mesma medida de antes, pois o repetidor parte do ponto médio.
- E) As distâncias continuarão iguais, pois o repetidor permanecerá na mediatriz do segmento que une os sensores.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Identifique o ponto médio entre A = (0, 0) e B = (10, 0). Ele é M = (5, 0), que fica a 5 metros de cada sensor.
- Desloque o repetidor 3 metros para o norte, em direção perpendicular ao segmento AB. A nova posição é P = (5, 3), pois o deslocamento é vertical e não altera a coordenada horizontal x = 5.
- Calcule a distância de P até A pelo teorema de Pitágoras: catetos de 5 e 3, logo distância = raiz de (25 + 9) = raiz de 34, aproximadamente 5,83 metros.
- Calcule a distância de P até B: catetos de 5 e 3, logo distância = raiz de 34, a mesma medida. Assim, as distâncias continuam iguais, embora ambas tenham aumentado em relação aos 5 metros originais.
- Conclua que o ponto P está sobre a mediatriz do segmento AB, que é a reta x = 5, perpendicular a AB pelo ponto médio. Todo ponto dessa reta é equidistante de A e B, o que explica o resultado.
- Analise as alternativas erradas. A afirma que só a distância até B muda, mas as duas distâncias são iguais a raiz de 34. B afirma que as distâncias deixam de ser iguais, mas a simetria em relação à reta vertical preserva a igualdade. C inverte o erro de A, supondo que só a distância até A aumenta, o que também não ocorre. D diz que as medidas não mudam, mas a distância passa de 5 para raiz de 34 metros.
- Alternativa correta: E.
💡 Dica: O ponto médio está na mediatriz; deslocar-se perpendicularmente ao segmento mantém o ponto nessa reta.
Alternativa por alternativa
Supõe que o deslocamento para o norte afeta apenas a distância ao sensor B, como se a direção vertical aproximasse ou afastasse o repetidor de um lado só. Ignora que os dois sensores estão simetricamente posicionados em relação à nova posição.
Acredita que sair da posição central, ou seja, da reta que une os sensores, quebra a igualdade das distâncias. Confunde a condição de equidistância com a condição de estar sobre o segmento AB.
Supõe que apenas a distância ao sensor A aumenta, por intuição de que o movimento para o norte afasta o repetidor de um dos lados. Não calcula as duas distâncias usando a diferença de coordenadas horizontais e verticais.
Acredita que, por o repetidor partir do ponto médio, as distâncias permanecem com a mesma medida de 5 metros. Não calcula a nova distância pelo teorema de Pitágoras, que resulta em raiz de 34.
Por que engana: Acreditar que sair do ponto médio implica deixar de estar à mesma distância dos extremos.
A mediatriz reúne os pontos equidistantes dos extremos de um segmento. Como o repetidor parte do ponto médio e se desloca perpendicularmente a AB, permanece sobre essa mediatriz e mantém distâncias iguais aos sensores.
Raio-X da questão
Mediatriz e equidistância dos extremos do segmento.
fixacao
Ponto médio de um segmento. · Perpendicularidade e distância entre pontos.
Propriedade dos pontos da mediatriz.
Acreditar que sair do ponto médio implica deixar de estar à mesma distância dos extremos.
Preservação ambiental
cotidiano
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