MatemáticaENEMBNCC EM13MAT302Difícil⏱ medio

Uma pequena loja virtual vende kits de papelaria personalizados. Em uma semana em que o preço de cada kit foi…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT302

Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

Uma pequena loja virtual vende kits de papelaria personalizados. Em uma semana em que o preço de cada kit foi R$ 30,00, foram vendidos 150 kits. A loja observou que, para cada aumento de R$ 5,00 no preço, a quantidade vendida diminui em 10 kits. O custo variável de produção e envio é de R$ 10,00 por kit, e as despesas fixas semanais somam R$ 400,00. Para estimar a demanda, a loja considera linear a relação entre preço e quantidade vendida, dentro da faixa em que a quantidade não seja negativa. Defina p como o preço de venda, em reais, de cada kit e q como a quantidade vendida por semana. A partir das informações, construa a função que representa o lucro semanal em função de p e determine o preço que maximiza esse lucro, bem como o valor máximo estimado. Mostre as etapas do raciocínio e verifique se o preço encontrado é compatível com uma quantidade vendida não negativa.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

O aumento de R$ 5,00 reduz as vendas em 10 kits, portanto a quantidade diminui 2 kits por real. Como q = 150 quando p = 30, o modelo linear é q(p) = 210 - 2p. O lucro é a receita menos os custos variáveis e fixos: L(p) = p q(p) - 10q(p) - 400. Substituindo q(p), obtém-se L(p) = (p - 10)(210 - 2p) - 400 = -2p^2 + 230p - 2500. Essa parábola tem concavidade para baixo, e seu máximo ocorre no vértice, em p = -230/(2 x -2) = R$ 57,50. Nesse preço, q = 210 - 2 x 57,50 = 95 kits, quantidade não negativa. O lucro máximo estimado é L(57,50) = (57,50 - 10) x 95 - 400 = R$ 4.112,50 por semana.

Explicação

A variação observada determina a inclinação -2 da função de demanda, que passa pelo ponto (30, 150). O lucro resultante é uma função quadrática com máximo no vértice; o preço obtido implica a venda de 95 kits, respeitando a condição de demanda não negativa.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom aplicar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ situacional🧩 consolidacao

🎯 Conceito central

Função quadrática do lucro e determinação do máximo.

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

Função afim e taxa de variação. · Máximo de função quadrática pelo vértice.

📚 Reveja

Modelagem linear da demanda e vértice da parábola.

⚠️ Erro mais comum

Modelar a receita como lucro, esquecendo o custo variável ou as despesas fixas.

🌎 Tema transversal

Educação financeira e empreendedorismo.

🏫 Contexto

cotidiano

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