Um ateliê desenhou um tapete quadrado com uma borda sombreada. Na figura, o lado do quadrado externo mede x +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax2 = b.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um ateliê desenhou um tapete quadrado com uma borda sombreada. Na figura, o lado do quadrado externo mede x + 4 centímetros e o lado do quadrado interno mede x - 4 centímetros. A área da borda sombreada é 160 centímetros quadrados. Qual é a medida do lado do quadrado externo do tapete?
- A) 14 centímetros
- B) 12,65 centímetros
- C) 24 centímetros
- D) 12 centímetros
- E) 10 centímetros
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A área da borda sombreada é a diferença entre a área do quadrado externo e a área do quadrado interno. O lado externo mede x + 4 e o interno mede x - 4. Assim, a área da borda é (x + 4)^2 - (x - 4)^2.
- Desenvolva os quadrados. (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 e (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16.
- Subtraia um do outro. (x^2 + 8x + 16) - (x^2 - 8x + 16) = 16x. Os termos x^2 e 16 se cancelam, e os termos em x somam 8x + 8x = 16x.
- Iguale à área dada. 16x = 160, logo x = 10 centímetros.
- A pergunta pede o lado do quadrado externo, que é x + 4 = 10 + 4 = 14 centímetros. Confira: o lado interno fica 10 - 4 = 6 centímetros. A área externa é 14^2 = 196 e a interna é 6^2 = 36, e 196 - 36 = 160, o que confirma o resultado.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa B (12,65) é a raiz quadrada de 160, que não corresponde a nenhum lado; a C (24) viria de usar 8x = 160 em vez de 16x; a D (12) não resulta de nenhum passo correto da resolução; a E (10) é o valor de x, e não o lado externo pedido.
- O gabarito oficial, alternativa A, está correto.
💡 Dica: Subtraia a área interna da externa: (x + 4)² - (x - 4)² = 160.
Alternativa por alternativa
A área sombreada é (x + 4)^2 - (x - 4)^2. Pela diferença de quadrados, essa expressão é [(x + 4) - (x - 4)][(x + 4) + (x - 4)] = 16x. Como 16x = 160, x = 10. Assim, o lado externo mede x + 4 = 14 centímetros; esse valor também satisfaz a condição x > 4 para que o quadrado interno tenha lado positivo.
Calculou a raiz quadrada da área (raiz de 160, aproximadamente 12,65) e tratou esse valor como a medida do lado, como se área e lado fossem a mesma grandeza.
Desenvolveu a diferença de quadrados e obteve 8x = 160 em vez de 16x = 160, encontrando x = 20 e, portanto, lado externo de 24 centímetros.
Por que engana: Somar as áreas dos quadrados ou igualar a área sombreada à área externa.
Errou o cálculo de x (por exemplo, dividindo 160 por um valor errado) e depois somou 4 ao resultado incorreto, chegando a 12 centímetros.
Encontrou corretamente x = 10, mas respondeu com o valor de x em vez de ppensar no lado externo, que é x + 4 e não x.
Raio-X da questão
Diferença entre áreas de quadrados.
Calcular a área de u
Área do quadrado. · Expansão de quadrados de binômios.
Produtos notáveis e equação do primeiro grau resultante.
Somar as áreas dos quadrados ou igualar a área sombreada à área externa.
Contexto cotidiano i
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