Dados ilustrativos de um comitê organizador de um festival cultural apontam que a quantidade de ingressos…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Dados ilustrativos de um comitê organizador de um festival cultural apontam que a quantidade de ingressos vendidos por dia, em função do preço p (em reais) cobrado por ingresso, pode ser estimada por I(p)=3000-20p. A arrecadação diária, R(p), é dada pelo produto entre p e I(p). Os organizadores desejam entender como o preço influenciará a receita, considerando que p varia entre 50 e 100 reais. Analise o texto-base e determine o preço por ingresso, em reais, que maximiza a arrecadação total.
- A) 65
- B) 75
- C) 80
- D) 90
- E) 70
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Escreva a receita diária em função do preço. Como R(p) = p · I(p) e I(p) = 3000 - 20p, temos R(p) = 3000p - 20p^2. Trata-se de uma função quadrática com coeficiente de p^2 negativo (-20), portanto seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, que possui um ponto de máximo. Passo 2: Encontre o vértice da parábola com a fórmula p = -b/(2a). Aqui a = -20 e b = 3000, logo p = -3000/(2 · (-20)) = -3000/(-40) = 75. Passo 3: Verifique se o valor está no intervalo considerado. Como 50 ≤ 75 ≤ 100, o vértice é válido e corresponde ao máximo de R(p) dentro do intervalo. Passo 4: Confira com valores numéricos. R(75) = 75 · 1500 = 112500. Para comparação, R(70) = 70 · 1600 = 112000 e R(80) = 80 · 1400 = 112000, ambos menores que R(75). Passo 5: Conclusão. O preço que maximiza a arrecadação é 75 reais, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial. As demais alternativas estão erradas: 65 e 70 ficam abaixo do vértice, 80 e 90 ficam acima dele e geram receita menor, e nenhuma delas é o ponto de máximo da parábola.
💡 Dica: Calcule a função receita e encontre seu máximo no intervalo dado.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo do vértice, como dividir 3000 por um valor incorreto (por exemplo, 46 em vez de 40), obtendo um preço próximo, mas não igual, ao ponto de máximo.
Vértice de R(p)=-20p^2+3000p ocorre em p=-3000/(2·(-20))=75 reais.
O aluno pode ter achado que a receita cresce até o limite superior do intervalo ou que o máximo fica mais perto de 100, sem calcular o vértice da parábola de R(p).
O aluno provavelmente trocou sinais na fórmula do vértice ou fez uma divisão errada, como obter 3600/40 ou 3000/33, chegando a um valor mais alto que o correto.
O aluno provavelmente chegou perto do vértice, mas cometeu um erro de cálculo ou de arredondamento na divisão 3000/40, que vale exatamente 75.
Por que engana: Escolher preço sem calcular o máximo da função receita, ou confundir receita com quantidade vendida.
Raio-X da questão
função receita e maximização
avaliacao
função afim e produto · noções básicas de derivada
estude funções quadráticas e derivadas para maximizar funções
Escolher preço sem calcular o máximo da função receita, ou confundir receita com quantidade vendida.
tomada_decisao
cotidiano
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