Durante as expedições cartográficas de 1840, equipes registraram um triângulo ABC no plano com vértices…

Questão

Durante as expedições cartográficas de 1840, equipes registraram um triângulo ABC no plano com vértices próximos ao marco zero. Para marcar uma nova área, o coordenador definiu um triângulo A'B'C' cujos lados medem o dobro dos originais, orientado 90 graus no sentido horário em relação a ABC e deslocado três unidades a leste e duas ao norte. A planta do terreno deve reproduzir A'B'C' a partir de ABC utilizando transformações geométricas isométricas e homotéticas. Analise a situação descrita e determine qual sequência de transformações geométricas reproduz A'B'C' a partir de ABC.

1. A) Aplicar rotação de 90 graus no sentido anti-horário em torno da origem, seguida de homotetia de razão 2 e translação de três unidades a leste e duas ao norte.
2. B) Aplicar homotetia de centro na origem e razão 1/2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem e translação de três unidades a leste e duas ao norte.
3. C) Aplicar homotetia de centro em A e razão 2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno de A, e translação de três unidades a leste e duas ao norte.
4. D) Aplicar homotetia de centro na origem e razão 2, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem, e translação de três unidades a leste e duas ao norte.
5. E) Aplicar translação de três unidades a leste e duas ao norte, seguida de rotação de 90 graus no sentido horário em torno da origem e homotetia de centro na origem e razão 2.

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Identifique as três transformações exigidas pelo enunciado. Os lados dobram, logo a homotetia tem razão 2. A orientação muda 90 graus no sentido horário, logo há uma rotação de 90 graus horária. O deslocamento de três unidades a leste e duas ao norte é uma translação de vetor (3, 2). Passo 2: Escolha o centro comum da homotetia e da rotação. Tomando a origem como centro das duas, a homotetia e a rotação fixam o ponto O e podem ser comutadas sem alterar o resultado, pois a rotação preserva distâncias e a homotetia multiplica coordenadas por 2. Passo 3: Coloque a translação por último. Assim o deslocamento final é exatamente (3, 2), como exigido. Passo 4: Verifique a ordem alternativa. Se a translação fosse aplicada antes, o vetor (3, 2) também seria girado e ampliado, resultando em um deslocamento efetivo de (4, -6), diferente do pedido. Passo 5: Confira as demais alternativas. A usa rotação anti-horária, que inverte o sentido pedido. B usa razão 1/2, que reduz o triângulo em vez de dobrar seus lados. C usa centro em A, o que mantém o vértice A fixo nas duas primeiras etapas e não corresponde à transformação padrão pedida pelo enunciado. E inverte a ordem da translação, como visto no Passo 4. Conclusão: a sequência correta é homotetia de centro na origem e razão 2, seguida de rotação de 90 graus horária em torno da origem e translação (3, 2), que é a alternativa D, em concordância com o gabarito oficial.

💡 Dica: Analise a ordem e os efeitos das transformações geométricas indicadas.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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