Durante a restauração de um vitral, uma equipe representou um triângulo equilátero no plano cartesiano. O…

Questão

Durante a restauração de um vitral, uma equipe representou um triângulo equilátero no plano cartesiano. O centro de referência O coincide com a origem do sistema de coordenadas, e os vértices do triângulo original são A(1,0), B(0,1) e C(-1,-1). Para produzir uma segunda figura, o triângulo foi ampliado por uma homotetia de centro O e razão 2 e, em seguida, girado 90° no sentido horário em torno do ponto P(2,0). Após essas transformações, os vértices correspondentes passaram a ser A'(2,0), B'(4,2) e C'(0,4). Considerando as coordenadas e as transformações descritas no texto-base, qual sequência de transformações leva o triângulo ABC ao triângulo A'B'C'?

1. A) reflexão em relação ao eixo x seguida de homotetia de centro O e razão 2
2. B) homotetia de centro O e razão 2 seguida de rotação de 90° no sentido anti-horário com centro P
3. C) homotetia de centro O e razão 1/2 seguida de rotação de 90° no sentido horário com centro P
4. D) rotação de 90° no sentido horário com centro P seguida de homotetia de centro O e razão 2
5. E) homotetia de centro O e razão 2 seguida de rotação de 90° no sentido horário com centro P

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Resolvi sem olhar o gabarito. Primeiro aplico a homotetia de centro O e razão 2 a cada vértice, multiplicando as coordenadas por 2: A(1,0) vira (2,0); B(0,1) vira (0,2); C(-1,-1) vira (-2,-2). Passo 2: Depois aplico a rotação de 90° no sentido horário em torno de P(2,0). Para um ponto (x,y), calculo dx = x - 2 e dy = y, e o transformado no sentido horário é (2 + dy, -dx). Para A(2,0): dx = 0 e dy = 0, então continua (2,0). Para B(0,2): dx = -2 e dy = 2, então vira (4,2). Para C(-2,-2): dx = -4 e dy = -2, então vira (0,4). Passo 3: Os resultados (2,0), (4,2) e (0,4) coincidem exatamente com A'(2,0), B'(4,2) e C'(0,4). Logo a alternativa E é a correta, e coincide com o gabarito oficial. Passo 4: Por que as outras estão erradas. A: a reflexão em relação ao eixo x leva B a (0,-1) e C a (-1,1), e nenhum vértice bate com A'B'C'. B: a rotação anti-horária em torno de P leva B(0,2) a (0,-2), não a (4,2). C: a homotetia de razão 1/2 encolhe a figura em vez de ampliá-la, e a rotação subsequente não produz A'(2,0). D: girar primeiro em torno de P leva A(1,0) a (2,1), e a homotetia depois dá (4,2), que não é A'(2,0). Passo 5: Conclusão. A sequência correta é homotetia primeiro e rotação horária com centro P depois, como na alternativa E.

💡 Dica: Identifique a sequência correta de transformações geométricas aplicadas ao triângulo.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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