Em um parque de uma cidade brasileira, a prefeitura ampliou um canteiro triangular para criar uma área…

Questão

Em um parque de uma cidade brasileira, a prefeitura ampliou um canteiro triangular para criar uma área destinada a atividades educativas. O canteiro original tem vértices A, B e C, com AB = 5 m, BC = 7 m e CA = 6 m. Na ampliação, o vértice A permaneceu no mesmo ponto, e os vértices B' e C' foram posicionados, respectivamente, nas semirretas AB e AC, de modo que AB' = 10 m e AC' = 12 m. Além disso, B'C' = 14 m, e os segmentos B'C' e BC são paralelos. Assim, o novo canteiro A'B'C', com A' = A, foi obtido mantendo a forma do canteiro original e dobrando todas as suas dimensões. Com base no texto, qual transformação geométrica foi utilizada para obter o canteiro A'B'C' a partir do canteiro ABC?

1. A) uma rotação de 180 graus com centro em A
2. B) uma reflexão em relação à reta BC
3. C) uma homotetia de razão 2 com centro em A
4. D) uma translação de vetor AB
5. E) uma homotetia de razão 2 com centro em B

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. O canteiro original ABC tem AB = 5 m, BC = 7 m e CA = 6 m. No novo canteiro, A' = A, AB' = 10 m e AC' = 12 m, com B' na semirreta AB e C' na semirreta AC, e B'C' = 14 m.
2. Verifique a razão entre as medidas correspondentes. AB'/AB = 10/5 = 2; AC'/AC = 12/6 = 2; B'C'/BC = 14/7 = 2. Todas as razões são iguais a 2, ou seja, cada dimensão foi dobrada.
3. Analise a posição dos pontos. Como B' está na semirreta AB e C' está na semirreta AC, os pontos B' e C' estão do mesmo lado de A que B e C, e os segmentos AB' e AB têm a mesma direção. Logo, A é o centro da transformação, e não há inversão de sentido.
4. Conclua. Uma homotetia de razão 2 com centro em A leva B em B' e C em C', multiplicando as distâncias ao centro por 2 e mantendo a forma e a orientação. Assim, a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial.
5. Analise as demais alternativas. A) Rotação de 180 graus inverteria o lado de B e C em relação a A, o que não ocorre nas semirretas. B) Reflexão em relação à reta BC mudaria a posição de A e não produziria um triângulo semelhante com vértice em A. D) Translação de vetor AB levaria A para outro ponto, contrariando A' = A. E) Homotetia de centro em B fixaria B, mas B' está a 10 m de A e não em B, então não corresponde ao enunciado.

💡 Dica: Compare as medidas dos lados e a posição dos segmentos paralelos para identificar a transformação.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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