Moradores de uma vila pesqueira registraram as variações de altura da maré ao longo de um ciclo diário de 12…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas em contextos que envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Moradores de uma vila pesqueira registraram as variações de altura da maré ao longo de um ciclo diário de 12 horas. Para prever os momentos de passagem seguras pelo canal, modelaram a altura H(t), em metros, t horas após a maré baixa, por H(t)=4+2·sin(\u03c0t/6). Nesse modelo, a maré baixa inicia em t=0 com altura H(0)=4 m e atinge altura máxima de 6 m quando sin(\u03c0t/6)=1. A partir do modelo apresentado, determine por quantas horas, em cada ciclo de 12 horas, a altura da maré permanece igual ou inferior a 3 m.
- A) 2 horas
- B) 3 horas
- C) 4 horas
- D) 6 horas
- E) 5 horas
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Queremos os valores de t em que H(t) <= 3, isto é, 4 + 2·sin(πt/6) <= 3. Subtraindo 4 e dividindo por 2, obtemos sin(πt/6) <= -1/2.
- Como o ciclo tem 12 horas, o argumento πt/6 varia de 0 a 2π quando t varia de 0 a 12. Nesse intervalo, sin(x) <= -1/2 para x entre 7π/6 e 11π/6, pois o seno vale -1/2 em 7π/6 e em 11π/6 e é menor que isso entre esses dois ângulos.
- Resolvendo πt/6 >= 7π/6 e πt/6 <= 11π/6, temos t >= 7 e t <= 11. Logo, a altura fica igual ou abaixo de 3 m no intervalo de 7 h a 11 h.
- A duração desse intervalo é 11 - 7 = 4 horas, o que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial.
- A alternativa A (2 horas) está errada, pois considera apenas os instantes t = 7 e t = 11 em que H = 3 e ignora que a maré permanece abaixo de 3 m durante todo o intervalo entre eles.
- A alternativa B (3 horas) está errada, pois resulta de um erro no cálculo dos limites do intervalo, que não correspondem à subtração correta de 7 e 11.
- A alternativa D (6 horas) está errada, pois corresponde a supor que o seno fica negativo durante metade do ciclo, o que não vale para a condição sin <= -1/2.
- A alternativa E (5 horas) está errada, pois resulta de contar extremos de forma incorreta, por exemplo considerando o intervalo de 7 a 12 horas, o que ignora que a altura volta a subir acima de 3 m após t = 11.
💡 Dica: Use a função seno para encontrar os intervalos em que H(t) ≤ 3.
Alternativa por alternativa
O aluno encontra os instantes em que H = 3 m (t = 7 h e t = 11 h) e conclui que a maré fica abaixo de 3 m apenas nesses dois instantes, confundindo o intervalo com os pontos extremos.
O aluno resolve corretamente a inequação em termos de ângulo, mas comete erro na conversão dos limites de πt/6 para t, obtendo uma duração de 3 horas.
Por que engana: Confundir o intervalo de tempo em que a função seno satisfaz a desigualdade, ou erro ao manipular a função trigonométrica.
Solução de sin(\u03c0t/6)\u2264-0,5 ocorre entre t=7 h e t=11 h, totalizando 4 horas.
O aluno acredita que, por ser uma senoide, a função fica abaixo de 3 m durante metade do ciclo de 12 horas, sem verificar a condição sin <= -1/2 ou o valor exato do intervalo.
O aluno calcula corretamente o início do intervalo em t = 7 h, mas estima o fim em t = 12 h por ser o fim do ciclo, ignorando que a altura volta a subir acima de 3 m em t = 11 h e produzindo 5 horas.
Raio-X da questão
função seno e desigualdade
avaliacao
funções trigonométricas básicas · resolução de inequações
Estude funções trigonométricas e resolução de inequações trigonométricas.
Confundir o intervalo de tempo em que a função seno satisfaz a desigualdade, ou erro ao manipular a função trigonométrica.
tomada_decisao
cotidiano
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