"— Você já aplicou as transformações no triângulo de base?" perguntou a arquiteta ao engenheiro. No plano…

Questão

"— Você já aplicou as transformações no triângulo de base?" perguntou a arquiteta ao engenheiro. No plano cartesiano, o triângulo ABC é definido pelos vértices A(0,0), B(1,0) e C(0,1). Ele primeiro rotacionou ABC em 90 graus no sentido anti-horário em torno de A, obtendo o triângulo A B1C1. Em seguida, aplicou uma homotetia de centro A e razão k=2 ao triângulo A B1C1, gerando o triângulo A B\u0027C\u0027. O engenheiro anotou que o processo manteve angulações e mudou comprimentos segundo o fator de escala. Dados ilustrativos: use as transformações de rotação e homotetia conforme descrito. A partir do texto-base, calcule a área do triângulo AB\u0027C\u0027 resultante das transformações aplicadas.

1. A) 8 unidades de área
2. B) 0,5 unidades de área
3. C) 1 unidade de área
4. D) 2 unidades de área
5. E) 4 unidades de área

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. O triângulo ABC tem vértices A(0,0), B(1,0) e C(0,1). Os catetos AB e AC medem 1 cada, então a área inicial é (1 x 1)/2 = 0,5 unidade de área. Passo 2: A rotação de 90 graus anti-horário em torno de A é uma isometria, pois preserva distâncias e ângulos. Assim, o triângulo AB1C1 continua com área 0,5. Passo 3: A homotetia de centro A e razão k = 2 multiplica os comprimentos por 2. Como a área depende de duas dimensões, ela é multiplicada por k^2 = 4. Logo, a área de AB'C' é 0,5 x 4 = 2 unidades de área. Passo 4: Conferência pelas coordenadas: a rotação leva B para (0,1) e C para (-1,0). Depois da homotetia, B' = (0,2) e C' = (-2,0). A base sobre o eixo y mede 2 e a altura sobre o eixo x mede 2, então a área é 2 x 2 / 2 = 2. Passo 5: O resultado obtido coincide com o gabarito oficial, alternativa D. Passo 6: Por que as outras estão erradas: A (8) usaria fator k^3, que é o escalonamento de volume e não de área; B (0,5) ignora a homotetia e mantém a área original; C (1) multiplicaria a área por k em vez de k^2; E (4) considera apenas k^2 como área final, sem multiplicar pela área original de 0,5.

💡 Dica: Calcule a área inicial, aplique a rotação e depois a homotetia para encontrar a área final.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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