Por que o lucro de uma empresa nem sempre cresce linearmente? Dados ilustrativos: uma pequena gráfica lançou…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica, entre outros materiais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Por que o lucro de uma empresa nem sempre cresce linearmente? Dados ilustrativos: uma pequena gráfica lançou um novo serviço de impressão. O gráfico da função lucro L(x), em centenas de reais, quanto vende x centenas de pedidos, é uma parábola no plano cartesiano com raízes em x=0 e x=20 e vértice em (10,200). Ou seja, o lucro é zero quando não há vendas ou quando são 2 000 pedidos, e atinge o máximo de R$ 20 000 quando vende 1 000 pedidos. Analise o texto-base e determine a representação algébrica de L(x) na forma de vértice.
- A) -2(x+10)^2+200
- B) -2x^2+40x
- C) -2(x-10)^2-200
- D) -2(x-10)^2+200
- E) 2(x-10)^2+200
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- A forma de vértice é a(x - h)^2 + k, em que (h, k) é o vértice. Pelo enunciado, o vértice é (10, 200), então a função é L(x) = a(x - 10)^2 + 200. Passo 2: Use uma raiz para descobrir a. Como L(0) = 0, temos a(0 - 10)^2 + 200 = 0, ou seja, 100a + 200 = 0, logo a = -2. Passo 3: Confira com a outra raiz. Para x = 20, temos -2(20 - 10)^2 + 200 = -200 + 200 = 0, como o texto exige. Passo 4: Logo L(x) = -2(x - 10)^2 + 200, que é a alternativa D. O gabarito oficial está correto. Passo 5: Por que as outras estão erradas. A: o vértice seria (-10, 200), e não (10, 200). B: a expressão -2x^2 + 40x é equivalente a L(x), mas está na forma geral, sem a forma de vértice pedida. C: o termo constante -200 faz o vértice ser (10, -200), o que contradiz o máximo de R$ 20 000. E: o coeficiente positivo faz a parábola abrir para cima, com ponto de mínimo, e não de máximo, como exige o texto.
💡 Dica: Use as informações do vértice e raízes para montar a função quadrática na forma de vértice.
Alternativa por alternativa
O aluno trocou o sinal dentro do parêntese, achando que (x + 10) corresponde ao vértice x = 10. Na forma a(x - h)^2 + k, o sinal de h é o oposto do que aparece no parêntese.
O aluno desenvolveu corretamente a função, mas não reconheceu que a questão pede a forma de vértice. Ele escolheu a forma geral ax^2 + bx + c, que não mostra diretamente o vértice.
O aluno acertou a parte (x - 10)^2 e o coeficiente -2, mas trocou o sinal da constante k. Com k = -200, o vértice fica em (10, -200), e não em (10, 200).
Por que engana: Confundir a forma da função quadrática ou sinais no termo do vértice, levando a representação incorreta.
Forma de vértice geral: L(x)=a(x-h)^2+k; usando L(0)=0 e vértice (10,200) calcula-se a=-2.
O aluno ignorou que a parábola precisa ter concavidade para baixo, pois tem ponto de máximo. Ele usou o coeficiente positivo 2, o que faria o lucro ter mínimo no vértice.
Raio-X da questão
função quadrática forma vértice
avaliacao
função quadrática básica · forma padrão da função quadrática
Estude função quadrática e forma de vértice para representar funções parabolicas.
Confundir a forma da função quadrática ou sinais no termo do vértice, levando a representação incorreta.
pensamento_critico
cotidiano
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