Durante o primeiro semestre, uma startup de tecnologia registrou o lucro mensal L(x), em milhares de reais, em…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Durante o primeiro semestre, uma startup de tecnologia registrou o lucro mensal L(x), em milhares de reais, em função do número de unidades vendidas x (em centenas) pela expressão L(x) = -2x^2 + 40x - 120. Os valores de x em que L(x)=0 indicam os pontos de equilíbrio financeiro, e o vértice da parábola determina a produção que maximiza o lucro. A equipe precisa definir o intervalo de produção em que a empresa opera com lucro positivo. A partir do texto-base, identifique o intervalo de valores de x em que a empresa obtém lucro (L(x)>0).
- A) (2sqrt10, 20 - 2sqrt10)
- B) [10 - 2sqrt10, 10 + 2sqrt10]
- C) (10 + 2sqrt10, +infinito)
- D) (-infinito, 10 - 2sqrt10)
- E) (10 - 2sqrt10, 10 + 2sqrt10)
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Queremos os valores de x com L(x) > 0, ou seja, -2x^2 + 40x - 120 > 0. Como a parábola tem concavidade para baixo (coeficiente de x^2 é -2), o lucro é positivo entre as raízes. Passo 2: Para facilitar, divida a desigualdade por -2 e inverta o sinal: x^2 - 20x + 60 < 0. Passo 3: Calcule as raízes com Bhaskara. O discriminante é Delta = 400 - 240 = 160. Então x = (20 ± raiz de 160) / 2 = (20 ± 4 raiz de 10) / 2 = 10 ± 2 raiz de 10. Passo 4: Como 2 raiz de 10 é aproximadamente 6,32, as raízes são cerca de 3,68 e 16,32, e ambas são positivas, o que faz sentido para unidades vendidas. Passo 5: Como a desigualdade é estrita (maior que zero), os extremos não entram: o intervalo é aberto, (10 - 2 raiz de 10, 10 + 2 raiz de 10). Esses extremos são exatamente os pontos de equilíbrio, onde o lucro é zero. Passo 6: Alternativa A está errada, pois combina valores que não são as raízes (2 raiz de 10 e 20 - 2 raiz de 10 não correspondem às raízes 10 ± 2 raiz de 10). Alternativa B está errada, pois usa colchetes e inclui os pontos de equilíbrio, onde o lucro é zero e não positivo. Alternativa C está errada, pois é a região onde a parábola é negativa, depois da maior raiz. Alternativa D está errada, pois é a região antes da menor raiz, onde o lucro também é negativo. Conclusão: a resposta correta é a alternativa E, em concordância com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule as raízes da função quadrática e determine o intervalo onde L(x) > 0.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou mal as raízes, tomando 2 raiz de 10 e 20 - 2 raiz de 10 como extremos, possivelmente esquecendo de dividir por 2 e de somar ou subtrair corretamente a média 10 da fórmula de Bhaskara.
O aluno resolveu corretamente as raízes, mas usou intervalo fechado, achando que L(x) = 0 também conta como lucro, sem perceber que a condição exigida é L(x) > 0 (estritamente positivo).
Por que engana: Confundir o intervalo onde a função é positiva com o intervalo entre as raízes ou usar intervalos fechados em vez de abertos.
O aluno inverteu a região de sinal, achando que o lucro é positivo para valores grandes de x, sem considerar que, com coeficiente negativo de x^2, a parábola fica negativa fora das raízes.
O aluno supôs que o lucro é positivo para quantidades pequenas, provavelmente confundindo o sinal da parábola ou ignorando que a concavidade para baixo faz o lucro ser negativo nos extremos do domínio.
As raízes são x = 10 ± 2sqrt10; o lucro é positivo entre essas raízes para parábola com coeficiente de x^2 negativo.
Raio-X da questão
função quadrática, lucro, intervalo positivo
avaliacao
função quadrática básica · análise de sinais de função
estude funções quadráticas, cálculo de raízes e análise de sinais
Confundir o intervalo onde a função é positiva com o intervalo entre as raízes ou usar intervalos fechados em vez de abertos.
pensamento_critico
cotidiano
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