— Para montar o padrão de flor no quadro, vamos usar três pregos cravados formando um triângulo equilátero de…

Questão

— Para montar o padrão de flor no quadro, vamos usar três pregos cravados formando um triângulo equilátero de lado 8 cm — explicou o orientador ao grupo de artes. Cada aluno ajustou o compasso com raio 8 cm e desenhou três circunferências, cada uma tomando como centro um dos pregos. O objetivo é analisar em quantos pontos essas circunferências se cruzam. A partir do texto-base, considerando as intersecções de cada par de circunferências, determine quantos pontos de intersecção elas apresentam ao todo.

1. A) 4 pontos de intersecção
2. B) 3 pontos de intersecção
3. C) 6 pontos de intersecção
4. D) 12 pontos de intersecção
5. E) 9 pontos de intersecção

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Identifique os centros. Os três pregos são os vértices de um triângulo equilátero de lado 8 cm, e cada circunferência tem centro em um vértice e raio 8 cm.
2. Analise cada par de circunferências. Duas circunferências de mesmo raio r cujos centros estão a uma distância d, com 0 < d < 2r, se cruzam em exatamente 2 pontos. Como a distância entre quaisquer dois pregos é 8 cm e o raio é 8 cm, temos d = r = 8, que satisfaz 0 < d < 16. Logo, cada par se cruza em 2 pontos.
3. Conte os pares. Com três circunferências há três pares possíveis (1 e 2, 1 e 3, 2 e 3), totalizando 3 x 2 = 6 pontos de intersecção.
4. Verifique se há pontos repetidos. Um ponto de intersecção de dois círculos está a 8 cm dos dois centros, formando com eles um triângulo equilátero. Os dois candidatos são o terceiro prego e seu reflexo em relação à reta que une os dois centros. O terceiro prego não está sobre sua própria circunferência, pois a distância dele até o próprio centro é 0. O reflexo está a 8 raiz de 3 do terceiro prego, não a 8 cm. Portanto nenhum ponto pertence às três circunferências ao mesmo tempo, e os 6 pontos são distintos.
5. Conclusão. O total de pontos de intersecção é 6, o que corresponde à alternativa C, igual ao gabarito oficial.
6. Por que as outras estão erradas. A alternativa A (4) subestima o total, como se um dos pares não se cruzasse. A alternativa B (3) supõe um único ponto por par. A alternativa D (12) dobra a contagem, contando cada par duas vezes. A alternativa E (9) supõe três pontos por par, o que não ocorre com circunferências não tangentes.

💡 Dica: Analise cada par de circunferências e conte suas intersecções, sem repetir pontos entre pares.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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