Para planejar um mosaico circular, uma artista marca quatro pontos em relação ao centro O. As distâncias são…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para planejar um mosaico circular, uma artista marca quatro pontos em relação ao centro O. As distâncias são: OA = 8 cm, OB = 10 cm, OC = 12 cm e OD = 14 cm. Ela considera primeiro uma circunferência de raio 10 cm e depois outra, com o mesmo centro, de raio 12 cm. Um ajudante afirma: “C e D ficam sobre a circunferência nas duas versões, pois ambos estão a pelo menos 10 cm do centro.” A afirmação do ajudante está correta? Analise a posição de C e D em relação a cada circunferência e justifique sua conclusão.
- A) Não. Na circunferência de raio 10 cm, C fica fora e D fica sobre ela, pois sua distância ao centro é entendida como compatível com o raio. Na circunferência de raio 12 cm, C fica fora e D também fica sobre ela. Portanto, estar a pelo menos 10 cm do centro não é suficiente para concluir corretamente a posição de cada ponto em relação à circunferência.
- B) Não. Na circunferência de raio 10 cm, C fica sobre ela, pois sua distância ao centro é tomada como igual ao raio, e D fica fora. Na circunferência de raio 12 cm, C fica dentro, pois sua distância é considerada menor que o raio, enquanto D fica fora. Portanto, a condição de estar a pelo menos 10 cm não garante que o ponto esteja sobre a circunferência.
- C) Não. Na circunferência de raio 10 cm, C fica fora e D fica sobre a circunferência, pois sua distância ao centro é considerada igual ao raio. Na circunferência de raio 12 cm, C fica sobre a circunferência e D fica fora. Portanto, estar a pelo menos 10 cm do centro não basta para pertencer à circunferência: a distância deve coincidir com o raio considerado.
- D) Não. Na circunferência de raio 10 cm, C fica dentro, pois sua distância ao centro é menor que o raio, e D fica fora. Na circunferência de raio 12 cm, C também fica dentro, e D continua fora. Portanto, estar a pelo menos 10 cm do centro não determina que um ponto pertença à circunferência: é preciso comparar a distância com o raio.
- E) Não. Na circunferência de raio 10 cm, C está fora, pois fica a 12 cm do centro, e D também está fora, pois fica a 14 cm do centro. Na circunferência de raio 12 cm, C fica sobre a circunferência, pois sua distância ao centro é igual ao raio, enquanto D continua fora, pois está a 14 cm do centro. Portanto, estar a pelo menos 10 cm do centro não basta para pertencer à circunferência: a distância precisa ser exatamente igual ao raio.
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Um ponto está sobre uma circunferência quando sua distância ao centro é igual ao raio; se a distância é maior, fica fora, e, se é menor, fica dentro.
- Com raio 10 cm, C está a 12 cm e D a 14 cm do centro: ambos ficam fora.
- Com raio 12 cm, C fica sobre a circunferência, pois OC = 12 cm; D fica fora, pois OD = 14 cm. Assim, a afirmação do ajudante é falsa: estar a pelo menos 10 cm não significa estar sobre as duas circunferências. A alternativa E descreve corretamente as posições.
- A está errada porque D não fica sobre nenhuma das circunferências. B erra ao dizer que C fica sobre a de raio 10 cm e dentro da de raio 12 cm. C erra ao dizer que D fica sobre a de raio 10 cm. D erra ao classificar C como dentro da circunferência de raio 10 cm e também dentro da de raio 12 cm.
💡 Dica: Compare cada distância ao centro com o raio de cada circunferência.
Alternativa por alternativa
Supõe que a distância de D, 14 cm, é compatível com os raios 10 cm e 12 cm para que ele fique sobre as circunferências. Na verdade, D está fora de ambas.
Trata a distância de C, 12 cm, como igual ao raio de 10 cm e menor que o raio de 12 cm. As comparações corretas são 12 > 10 e 12 = 12.
Identifica corretamente as posições na circunferência de raio 12 cm, mas afirma que D está sobre a de raio 10 cm. Como 14 cm é maior que 10 cm, D fica fora.
Considera que a distância de C, 12 cm, é menor que os raios 10 cm e 12 cm. Ela é maior que 10 cm e igual a 12 cm, portanto C fica fora da primeira e sobre a segunda.
Por que engana: Confundir estar a pelo menos uma distância com estar exatamente à distância do raio.
Um ponto pertence à circunferência quando sua distância ao centro é exatamente igual ao raio. Assim, C só pertence à circunferência de raio 12 cm, e D não pertence a nenhuma das duas.
Raio-X da questão
Circunferência como conjunto de pontos equidistantes do centro.
avaliacao
Identificar centro e raio de uma circunferência. · Comparar medidas de comprimento.
Posições de um ponto em relação à circunferência: dentro, sobre ou fora.
Confundir estar a pelo menos uma distância com estar exatamente à distância do raio.
cotidiano
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