Uma análise interna da plataforma de buscas de uma empresa registrou o tempo médio de resposta t (em segundos)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Uma análise interna da plataforma de buscas de uma empresa registrou o tempo médio de resposta t (em segundos) para diferentes volumes de registros n: para n = 50, t = 2,5; para n = 100, t = 5,0; e para n = 150, t = 9,0. Essas medidas foram coletadas para avaliar como o crescimento do banco de dados afeta a experiência do usuário. Sabendo que o comportamento observado pode ser descrito por uma função polinomial de 2º grau, a equipe de desenvolvimento precisa de um modelo matemático que permita prever t para outros valores de n e orientar otimizações de performance. Identifique a função polinomial de 2º grau que descreve corretamente o tempo de resposta t(n) em função de n.
- A) t(n) = 0,0002n^2 + 0,005n + 2,0
- B) t(n) = 0,0003n^2 + 0,010n + 1,0
- C) t(n) = 0,0004n^2 + 0,005n + 1,5
- D) t(n) = 0,0003n^2 + 0,005n + 1,0
- E) t(n) = 0,0003n^2 + 0,005n + 1,5
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Um polinômio de 2º grau t(n) = an^2 + bn + c tem três incógnitas (a, b e c), e os três pares (50; 2,5), (100; 5,0) e (150; 9,0) formam um sistema de três equações. Passo 2: Substituindo cada par obtemos 2500a + 50b + c = 2,5; 10000a + 100b + c = 5,0; 22500a + 150b + c = 9,0. Passo 3: Subtraindo a primeira equação da segunda: 7500a + 50b = 2,5. Subtraindo a segunda da terceira: 12500a + 50b = 4,0. Passo 4: Subtraindo essas duas novas equações: 5000a = 1,5, logo a = 0,0003. Passo 5: Substituindo em 7500a + 50b = 2,5: 2,25 + 50b = 2,5, logo 50b = 0,25 e b = 0,005. Passo 6: Substituindo na primeira equação original: 0,75 + 0,25 + c = 2,5, logo c = 1,5. Passo 7: Portanto t(n) = 0,0003n^2 + 0,005n + 1,5, que é a alternativa E, coincidindo com o gabarito oficial. Passo 8: Verificação: para n = 100, 0,0003 x 10000 + 0,005 x 100 + 1,5 = 3 + 0,5 + 1,5 = 5,0; para n = 150, 0,0003 x 22500 + 0,005 x 150 + 1,5 = 6,75 + 0,75 + 1,5 = 9,0. Passo 9: Por que as outras estão erradas: a alternativa A dá t(50) = 2,75; a alternativa B dá t(50) = 2,25; a alternativa C dá t(50) = 2,75; a alternativa D dá t(50) = 2,0, e nenhuma delas reproduz o valor medido de 2,5 segundos.
💡 Dica: Use os pontos dados para montar um sistema e encontrar os coeficientes da função quadrática.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente escolheu os coeficientes e o termo independente sem substituir os três pontos, ou errou o cálculo de 0,0002 x 2500 ao verificar o modelo. Assim, o modelo não reproduz t(50) = 2,5.
O aluno provavelmente tomou o termo independente como 1,0 e o coeficiente linear como 0,010, sem testar o modelo nos pontos dados. Com isso, obtém t(50) = 2,25 em vez de 2,5.
O aluno pode ter acertado o termo independente 1,5, mas errou o coeficiente quadrático ao resolver o sistema, usando 0,0004 em vez de 0,0003. O modelo resultante dá t(50) = 2,75 em vez de 2,5.
O aluno provavelmente acreditou que o termo independente deve ser o valor de t quando n = 0 ou ajustou os coeficientes sem conferir todos os pontos. O modelo resultante dá t(50) = 2,0, diferente do valor medido.
Por que engana: Confundir os coeficientes ou não montar corretamente o sistema para encontrar a função quadrática.
Coeficientes a=0,0003, b=0,005 e c=1,5 satisfazem os três pares (n,t) fornecidos no texto-base.
Raio-X da questão
função polinomial de 2º grau
avaliacao
função polinomial básica · sistema de equações lineares
Estude como determinar coeficientes de funções quadráticas a partir de pontos dados.
Confundir os coeficientes ou não montar corretamente o sistema para encontrar a função quadrática.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
cientifico
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