Uma pesquisa de mercado revelou que a pequena arquibancada de um teatro ao ar livre tem demanda de ingressos…

Questão

Uma pesquisa de mercado revelou que a pequena arquibancada de um teatro ao ar livre tem demanda de ingressos dada por D(p)=500-4p, em que p é o preço em reais de cada ingresso, e D(p) é o número esperado de ingressos vendidos. A administração acredita que a receita total R(p)=p·D(p) descreve o lucro obtido por apresentação. Os organizadores querem definir p para maximizar a receita da sessão. Analise o texto-base e determine o valor de p, em reais, que maximiza a receita R(p) da arquibancada.

1. A) 31.25
2. B) 500
3. C) 250
4. D) 125
5. E) 62.5

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Identifique a função receita. R(p) = p·D(p) = p·(500 - 4p) = 500p - 4p^2. Trata-se de uma parábola com coeficiente de p^2 negativo (-4), portanto ela tem um ponto de máximo, que é o vértice. Passo 2: Encontre o vértice pela fórmula p = -b/(2a), com a = -4 e b = 500. Assim, p = -500/(2·(-4)) = -500/(-8) = 62,5 reais. Passo 3: Confira pela derivada. R'(p) = 500 - 8p; igualando a zero, 8p = 500 e p = 62,5. Passo 4: Verifique a coerência. Com p = 62,5, a demanda é D = 500 - 4·62,5 = 250 ingressos, e a receita é 62,5·250 = 15625 reais. Qualquer outro preço próximo dá receita menor, o que confirma o máximo. Passo 5: Sobre as alternativas erradas. A) 31,25 resulta de dividir por 4a em vez de 2a na fórmula do vértice, o que dá a metade do valor correto. B) 500 é o valor de D quando p = 0, ou seja, uma quantidade e não um preço. C) 250 é a metade do coeficiente 500, obtida ao ignorar o coeficiente -4 de p^2. D) 125 é o preço que zera a demanda (500 - 4p = 0), mas nesse ponto a receita é nula, então não é o máximo. O gabarito oficial E está correto.

💡 Dica: Calcule a receita total e encontre o valor de p que a maximiza usando derivada ou análise de função quadrática.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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