Observe a figura de um reservatório cilíndrico para álcool em gel. O rótulo cobre apenas a lateral. Para caber…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Observe a figura de um reservatório cilíndrico para álcool em gel. O rótulo cobre apenas a lateral. Para caber na prateleira, raio da base e altura somam 20 cm. Com base na figura, qual deve ser a altura para que a área lateral do rótulo seja máxima?
- A) 5 cm
- B) 8 cm
- C) 12 cm
- D) 10 cm
- E) 20 cm
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os dados. O rótulo cobre apenas a lateral do cilindro, cuja área é 2 pi r h, em que r é o raio da base e h é a altura. O enunciado diz que r + h = 20, logo h = 20 - r. Passo 2: Substitua h na fórmula. A área lateral fica A(r) = 2 pi r (20 - r) = 40 pi r - 2 pi r^2. Passo 3: Encontre o máximo. A função é quadrática em r com coeficiente de r^2 negativo (-2 pi), então a parábola tem concavidade para baixo e o máximo está no vértice: r = -b/(2a) = -40 pi/(2 . (-2 pi)) = 10 cm. Passo 4: Calcule a altura. h = 20 - 10 = 10 cm. Assim, a área lateral máxima ocorre com r = 10 cm e h = 10 cm, valendo 2 pi . 10 . 10 = 200 pi cm^2. Passo 5: Verifique com outros valores. Com h = 5 (r = 15), a área é 150 pi; com h = 8 (r = 12) ou h = 12 (r = 8), a área é 192 pi; com h = 10, a área é 200 pi, o maior valor. Por que as outras alternativas estão erradas: A) 5 cm dá área de 150 pi, menor que a máxima; B) 8 cm dá área de 192 pi, menor que a máxima; C) 12 cm dá área de 192 pi, menor que a máxima; E) 20 cm faz o raio ser zero, e a área lateral se anula.
💡 Dica: Use a relação entre raio e altura para expressar a área lateral e maximize-a.
Alternativa por alternativa
O aluno supõe que a altura ideal é um quarto do total (20 dividido por 4), sem montar a função da área nem derivar ou comparar valores.
O aluno escolhe um valor intermediário por intuição, achando que 8 cm já equilibra raio e altura, sem comparar as áreas possíveis.
O aluno confunde os papéis de raio e altura, lendo a altura como 20 menos 8 (um raio arbitrário) e chegando a 12 cm como solução.
Correto: A=2πr(20-r) tem máximo quando r=10 e h=10.
O aluno ignora que a soma r + h = 20 vincula as duas dimensões e usa o total 20 como altura, o que zera o raio e a área lateral.
Raio-X da questão
maximização área lateral cilindro
diagnostico
área lateral do cilindro · função quadrática
estude funções quadráticas e derivadas para maximização
Confundir a fórmula da área lateral ou não aplicar corretamente a condição de soma do raio e altura.
pensamento_critico
cotidiano
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