A figura mostra uma embalagem em bloco retangular usada por um banco de alimentos. A altura é 30 cm. No…

Questão

A figura mostra uma embalagem em bloco retangular usada por um banco de alimentos. A altura é 30 cm. No software de corte, a soma entre largura e profundidade da base deve ser 18 cm para manter o gasto de papelão. De acordo com a figura, qual é o volume máximo da caixa?

1. A) 2160 cm³
2. B) 2430 cm³
3. C) 2700 cm³
4. D) 4860 cm³
5. E) 1620 cm³

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Identifique os dados. A altura da caixa é h = 30 cm. Largura e profundidade da base são x e y, com x + y = 18 cm. O volume é V = x · y · h = 30 · x · y.
2. Como a soma x + y é fixa, o produto x · y é máximo quando os dois lados são iguais. Escrevendo y = 18 - x, temos x · y = x · (18 - x) = 18x - x^2. Esta é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está em x = 9.
3. Com x = 9 e y = 9, a base é um quadrado de área 81 cm². O volume máximo é V = 81 · 30 = 2430 cm³. Essa é a alternativa B, que coincide com o gabarito.
4. Por que as outras estão erradas. A (2160 cm³) corresponde a uma divisão não ótima da soma, como 6 e 12, cujo produto 72 é menor que 81. C (2700 cm³) exigiria produto 90 da base, o que é impossível com soma 18, pois a equação x^2 - 18x + 90 = 0 não tem raízes reais. D (4860 cm³) é o dobro do volume máximo, como se a área da base tivesse sido contada duas vezes. E (1620 cm³) equivale a uma base de área 54, obtida de lados como 6 e 9, cuja soma 15 não respeita a condição de 18 cm.
5. Conclusão. O volume máximo ocorre com base quadrada de lado 9 cm e altura 30 cm, resultando em 2430 cm³.

💡 Dica: Use a restrição da soma da largura e profundidade para expressar o volume e maximize a função.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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