Nas primeiras horas da manhã, as colunas de água de um chafariz público elevam-se sobre o espelho d'água de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Nas primeiras horas da manhã, as colunas de água de um chafariz público elevam-se sobre o espelho d'água de uma praça central. Técnicos mediram a altura h(t), em metros, do jato em função do tempo t, em segundos, e obtiveram a expressão h(t)=-5t^2+20t+3. Os valores iniciais indicam que, ao iniciar o fluxo, a água sai a 3 m de altura e chega a cair novamente segundos depois. Analise o texto-base e determine em que instante o jato de água atinge a altura máxima.
- A) 1 s
- B) 3 s
- C) 5 s
- D) 4 s
- E) 2 s
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- A função h(t) = -5t^2 + 20t + 3 é do segundo grau, com a = -5, b = 20 e c = 3. Como a = -5 é negativo, a parábola tem concavidade para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.
- O instante do vértice é dado por t_v = -b/(2a). Substituindo, t_v = -20/(2 x (-5)) = -20/(-10) = 2 segundos.
- Para confirmar, calculamos a altura nesse instante: h(2) = -5 x 4 + 20 x 2 + 3 = -20 + 40 + 3 = 23 metros. Esse valor é maior que os 3 m do início e que a altura em qualquer outro instante próximo, o que confirma que o máximo ocorre em t = 2 s.
- Por que as outras alternativas estão erradas: 1 s resultaria de dividir por 4a em vez de 2a; 3 s confunde o instante com a altura inicial de 3 m; 5 s toma o coeficiente 5 de -5t^2 como se fosse o instante; 4 s resulta de calcular -b/a esquecendo o fator 2 do denominador.
- Conclusão: o jato atinge a altura máxima de 23 m em t = 2 s, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Calcule o vértice da parábola para encontrar o tempo da altura máxima.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou o vértice dividindo -b por 4a (-20/-20 = 1) em vez de por 2a, esquecendo o fator 2 da fórmula.
O aluno confundiu o instante com a altura inicial de 3 m, que é o termo independente da função, e tomou o valor 3 como resposta para o tempo.
Por que engana: Confundir o cálculo do vértice da parábola ou usar valores errados para a fórmula do tempo do máximo.
O aluno tomou o coeficiente 5 do termo -5t^2 como se fosse o instante do máximo, sem aplicar a fórmula do vértice.
O aluno calculou -b/a = -20/(-5) = 4 e esqueceu de dividir por 2, que faz parte da fórmula do vértice t = -b/(2a).
O vértice da parábola ocorre em t=-b/(2a)=-20/(2·(-5))=2 s, instante de altura máxima.
Raio-X da questão
função quadrática, vértice, máximo
avaliacao
função quadrática básica
Estude função quadrática e cálculo do vértice para encontrar máximos e mínimos.
Confundir o cálculo do vértice da parábola ou usar valores errados para a fórmula do tempo do máximo.
tomada_decisao
cotidiano
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