Em 1822, ainda antes do Grito do Ipiranga, viajantes diplomáticos planejaram uma viagem pelo interior do…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas de contagem envolvendo agrupamentos ordenáveis ou não de elementos, por meio dos princípios multiplicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama de árvore.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em 1822, ainda antes do Grito do Ipiranga, viajantes diplomáticos planejaram uma viagem pelo interior do Brasil Colonial. Na extensa malha de estradas, identificaram sete cidades chave para encontros políticos. Cada itinerário incluía a visita a três dessas cidades em sequência, sem repetição. Os diplomatas precisavam saber quantas rotas distintas poderiam traçar, considerando que a ordem em que cada cidade era visitada influenciava prazos e acordos. Analise o texto-base e determine quantas rotas diferentes podem ser planejadas considerando a ordem das cidades visitadas.
- A) Multiplicar 7×6×5, resultando em 210 rotas possíveis.
- B) Elevar 7 ao cubo, chegando a 343 trajetos possíveis.
- C) Usar 5! = 120 planejamentos de rota.
- D) Aplicar P(7,2) = 7×6 = 42 rotas diferentes.
- E) Calcular C(7,3), obtendo 35 rotas distintas.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Identifique o problema. São 7 cidades disponíveis e cada itinerário visita 3 delas, em sequência e sem repetição. Como a ordem importa, trata-se de um arranjo simples de 7 elementos tomados 3 a 3, indicado por A(7,3).
- Calcule o arranjo. A(7,3) = 7 x 6 x 5 = 210. Na primeira parada há 7 opções, na segunda restam 6 e na terceira restam 5.
- Confira o resultado. Como 7 x 6 x 5 = 210, a alternativa A está correta e coincide com o gabarito oficial.
- Analise as alternativas erradas. B está errada porque elevar 7 ao cubo supõe que a cidade possa se repetir, o que o enunciado proíbe. C está errada porque 5! = 120 não corresponde a nenhum passo do problema, já que ignora a escolha das 3 cidades entre as 7. D está errada porque P(7,2) = 42 considera apenas 2 cidades visitadas, mas o itinerário tem 3. E está errada porque C(7,3) = 35 conta os grupos de cidades sem considerar a ordem, e o enunciado afirma que a ordem importa.
💡 Dica: Calcule permutação de 7 cidades tomadas 3 a 3, considerando a ordem.
Alternativa por alternativa
Permutação de 7 elementos tomados 3 a 3: 7×6×5 = 210 combinações com ordem importa.
O aluno trata o problema como se cada uma das 3 paradas pudesse ser qualquer uma das 7 cidades, permitindo repetição. Assim ignora a condição de que não há repetição no itinerário.
Por que engana: Confundir permutação com combinação ou calcular potência em vez de arranjo.
O aluno calcula 5! como se o número de cidades a visitar fosse 5 e ignora que devem ser escolhidas 3 entre 7. Usa a permutação de 5 elementos sem relação com os dados do enunciado.
O aluno considera que o itinerário tem apenas 2 cidades, por confundir a quantidade de paradas com o número de cidades visitadas. Usa P(7,2) em vez de A(7,3).
O aluno identifica corretamente que são 3 cidades escolhidas entre 7, mas usa combinação, que não diferencia a ordem. O enunciado afirma que a ordem influencia prazos e acordos, portanto cada sequência conta como rota distinta.
Raio-X da questão
Permutação e arranjo
avaliacao
Princípio fundamental da contagem · Arranjo simples
Estude permutação e arranjo sem repetição
Confundir permutação com combinação ou calcular potência em vez de arranjo.
tomada_decisao
historico
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