Em um relatório de consumo de água, a leitura exata de um equipamento foi registrada como 2,1\overline{6} m³…

Questão

Em um relatório de consumo de água, a leitura exata de um equipamento foi registrada como 2,1\overline{6} m³. Nessa notação, a barra sobre o algarismo 6 indica que ele se repete indefinidamente: 2,1666... m³. Para comparar essa leitura com outras medidas, o valor deve ser escrito como uma fração irredutível. Com base no registro apresentado, determine a fração geratriz irredutível correspondente à dízima periódica 2,1\overline{6}.

1. A) Subtraindo os blocos 216 e 21 e usando 99 no denominador, obtém-se 2,1\overline{6} = 195/99 = 65/33.
2. B) Se x = 2,1\overline{6}, então 10x = 21,\overline{6} e 100x = 216,\overline{6}. Subtraindo as igualdades, obtém-se 90x = 195; assim, x = 195/90 = 13/6.
3. C) Tomando o algarismo repetido como se representasse a fração 1/3, escreve-se 2,1\overline{6} como 2 + 1/3, obtendo-se a fração 7/3.
4. D) Considerando apenas a parte decimal indicada antes da repetição, escreve-se 2,1\overline{6} como 2 + 1/5, obtendo-se a fração 11/5.
5. E) Interpretando 2,1\overline{6} como 2,16, sem considerar a repetição do 6, obtém-se a fração 54/25.

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Chame a dízima de x, ou seja, x = 2,1666... Passo 2: Multiplique por 10 para deslocar uma casa decimal e isolar a parte periódica: 10x = 21,6666... Passo 3: Multiplique por 100 para deslocar duas casas decimais: 100x = 216,6666... Passo 4: Subtraia as duas igualdades para eliminar a parte periódica: 100x - 10x = 216,666... - 21,666..., logo 90x = 195. Passo 5: Isole x: x = 195/90. Passo 6: Simplifique dividindo numerador e denominador por 15: 195/90 = 13/6. Como 13 é primo e não divide 6, a fração 13/6 é irredutível. Verificação: 13 dividido por 6 dá 2,1666..., que confirma o resultado. Passo 7: Por que as outras alternativas estão erradas. A: a subtração 216 - 21 = 195 está certa, mas o denominador deveria ser 90 (um algarismo repetido exige 9 seguido de zeros, e a parte não periódica exige um zero), não 99, e o valor 65/33 não é igual a 2,1666... Assim, o gabarito B é a resposta correta. C: 1/3 representa 0,333..., não o algarismo 6 repetido, que equivale a 2/3, e 7/3 resulta em 2,333..., valor diferente. D: 1/5 equivale a 0,2 e não à parte decimal 0,1666...; além disso, 11/5 = 2,2 não corresponde à dízima. E: 2,16 = 216/100 = 54/25 é uma conta correta para o número 2,16, mas ignora a repetição do 6 indicada pela barra, que é exatamente o que o enunciado pede para considerar.

💡 Dica: Converta a dízima periódica em fração usando a fórmula ou método de multiplicação para eliminar a parte periódica.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão

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