Um experimento aleatório tem duas etapas: (i) lançar um dado viciado com P(6)=1/3 e as demais faces com…

Questão

Um experimento aleatório tem duas etapas: (i) lançar um dado viciado com P(6)=1/3 e as demais faces com probabilidades iguais; (ii) retirar uma ficha de um saco escolhido conforme o resultado do dado: se saiu 6 escolhe-se o saco A (2 fichas vermelhas e 3 azuis); se saiu diferente de 6 escolhe-se o saco B (1 vermelha e 4 azuis). a) Os eventos X = 'obter 6 no dado' e Y = 'retirar ficha vermelha' são independentes? Justifique. b) Calcule P(Y). c) Se, em vez de escolher sacos conforme o dado, sempre usássemos o saco A independentemente do resultado, X e Y seriam independentes? Calcule a nova P(Y). Apresente cálculos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

P(6)=1/3, P(¬6)=2/3. P(V|6)=2/5, P(V|¬6)=1/5. Pela probabilidade total: P(V)=P(6)P(V|6)+P(¬6)P(V|¬6)=1/3·2/5+2/3·1/5=2/15+2/15=4/15. Como P(V|6)=2/5 (6/15) ? 4/15, os eventos são dependentes. Se sempre usar o saco A então P(V)=2/5; nesse caso P(V|6)=2/5=P(V), logo X e Y são independentes e a nova P(Y)=2/5.

Explicação

Os eventos X e Y são considerados independentes se a probabilidade de Y ocorrer não for afetada pela ocorrência de X. No primeiro caso, a escolha do saco depende do resultado do dado, o que gera uma relação de dependência entre os eventos. No segundo caso, ao usar sempre o saco A, a probabilidade de retirar uma ficha vermelha se torna constante, tornando X e Y independentes.

Raio-X da questão

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