Em uma pesquisa sobre a vacinação contra uma doença, uma equipe visitou uma residência com cinco moradores…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em uma pesquisa sobre a vacinação contra uma doença, uma equipe visitou uma residência com cinco moradores, dos quais três estavam vacinados. Para simular diferentes procedimentos de seleção, foram considerados dois cenários: no primeiro, o morador sorteado é recolocado antes do segundo sorteio, permitindo que a mesma pessoa seja sorteada novamente; no segundo, o morador sorteado não é recolocado, de modo que os dois moradores selecionados são necessariamente distintos. Com base nos dados da pesquisa, determine a probabilidade de os dois moradores sorteados estarem vacinados em cada cenário e classifique a relação entre os eventos “o primeiro morador sorteado está vacinado” e “o segundo morador sorteado está vacinado” em cada caso.
- A) Com reposição: 6/25 (0,24), com eventos independentes; sem reposição: 1/2 (0,50), com eventos dependentes.
- B) Com reposição: 9/25 (0,36), com eventos independentes; sem reposição: 3/10 (0,30), com eventos dependentes.
- C) Com reposição: 1/5 (0,20), com eventos independentes; sem reposição: 3/5 (0,60), com eventos dependentes.
- D) Com reposição: 3/5 (0,60), com eventos dependentes; sem reposição: 1/5 (0,20), com eventos independentes.
- E) Com reposição: 8/25 (0,32), com eventos dependentes; sem reposição: 2/5 (0,40), com eventos independentes.
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Dados: 5 moradores, sendo 3 vacinados e 2 não vacinados. A probabilidade de o primeiro sorteado estar vacinado é 3/5. Passo 2: Com reposição, o morador sorteado volta ao grupo, então a composição não muda no segundo sorteio e a probabilidade de o segundo estar vacinado continua 3/5. Logo, P(os dois vacinados) = (3/5) * (3/5) = 9/25 = 0,36. Como o resultado do primeiro sorteio não altera a probabilidade do segundo, os eventos são independentes. Passo 3: Sem reposição, após um vacinado ser sorteado restam 4 moradores, dos quais 2 são vacinados. Logo, P(os dois vacinados) = (3/5) * (2/4) = 6/20 = 3/10 = 0,30. Aqui o primeiro resultado altera a probabilidade do segundo, portanto os eventos são dependentes. Passo 4: Conclusão: a alternativa correta é a B, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: na A, 6/25 corresponde a (3/5) * (2/5), uma mistura de vacinado com não vacinado, e 1/2 não corresponde a (3/5) * (2/4); na C, 1/5 e 3/5 não correspondem aos cálculos corretos e a classificação dos eventos também está invertida na sua ideia de dependência; na D, as classificações estão trocadas, pois com reposição os eventos são independentes e sem reposição são dependentes; na E, 8/25 e 2/5 não correspondem aos cálculos e a classificação também está invertida.
💡 Dica: Calcule as probabilidades separadamente para cada caso e analise a independência.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula 6/25 multiplicando a probabilidade de vacinado pela de não vacinado, mistura eventos diferentes, e para o caso sem reposição chega a 1/2 sem usar a contagem correta de 2 vacinados em 4 restantes.
No sorteio com reposição, a probabilidade de cada morador sorteado estar vacinado permanece igual a 3/5. Assim, a probabilidade de os dois estarem vacinados é (3/5) × (3/5) = 9/25. Como o primeiro morador é recolocado, o resultado do primeiro sorteio não altera a probabilidade do segundo; portanto, os eventos são independentes. No sorteio sem reposição, depois de selecionar um morador vacinado, restam quatro moradores, dos quais dois estão vacinados. Logo, a probabilidade é (3/5) × (2/4) = 3/10. Nesse caso, o primeiro sorteio altera a composição do grupo, de modo que os eventos são dependentes.
O aluno calcula sem reposição como 3/5, mantendo a probabilidade do primeiro sorteio e ignorando que um vacinado já saiu, e classifica os eventos de forma inconsistente com o cálculo.
O aluno acredita que a reposição cria dependência entre os sorteios e que a retirada sem reposição torna os eventos independentes, invertendo o conceito de independência; também usa 3/5 como probabilidade dos dois eventos.
O aluno associa a ausência de reposição à independência dos eventos e a reposição à dependência, além de obter 8/25 e 2/5, valores que não correspondem à contagem dos vacinados.
Raio-X da questão
probabilidade de eventos
avaliacao
probabilidade de eventos · eventos independentes e dependentes
Revisar conceitos de probabilidade e eventos independentes e dependentes.
Confundir a probabilidade de eventos independentes com a de eventos dependentes, aplicando a mesma fórmula para ambos os casos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cotidiano
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