(Dificuldade 2) Um silo cilíndrico reto tem altura h = 3r, onde r é o raio em metros. Seu volume é igual ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos em situações reais (como o cálculo do gasto de material para revestimento ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estudados), com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
(Dificuldade 2) Um silo cilíndrico reto tem altura h = 3r, onde r é o raio em metros. Seu volume é igual ao volume de um prisma reto cuja base triangular tem área A_base = 18 m² e altura do prisma H = 4 m. Determine o raio r (dê expressão exata em função de p e aproximação com duas casas decimais).
- A) r = 10/p m
- B) r = 3,0 m
- C) r = 2,5 m
- D) r = 4/p m
- E) r = (24/p)^{1/3} ˜ 1,97 m
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Volume do silo cilíndrico. Para um cilindro, V = pi * r^2 * h. Como h = 3r, temos V = pi * r^2 * 3r = 3 * pi * r^3.
- Volume do prisma. V = A_base * H = 18 * 4 = 72 m^3.
- Igualando os volumes, 3 * pi * r^3 = 72. Logo r^3 = 72 / (3 * pi) = 24 / pi.
- Extraindo a raiz cúbica, r = (24/pi)^(1/3). Essa é a expressão exata pedida.
- Aproximação numérica. 24 / 3,14159 é aproximadamente 7,639. A raiz cúbica de 7,639 é aproximadamente 1,97 (pois 1,97^3 é aproximadamente 7,645). Portanto r é aproximadamente 1,97 m.
- Conferência das outras alternativas. A) 10/pi (aproximadamente 3,18 m) não satisfaz 3 * pi * r^3 = 72. B) r = 3 m daria volume de 81 * pi, aproximadamente 254 m^3, muito maior que 72. C) r = 2,5 m daria volume de aproximadamente 147 m^3, também diferente de 72. D) 4/pi (aproximadamente 1,27 m) daria volume de aproximadamente 19,5 m^3, muito menor que 72. Apenas a alternativa E é consistente com a equação. Gabarito oficial E confirmado.
💡 Dica: Iguale os volumes e substitua a altura do cilindro por 3r.
Alternativa por alternativa
Tratou a equação cúbica 3 * pi * r^3 = 72 como se fosse linear, isolando r por manipulação algébrica incorreta e ignorando a potência 3 de r.
Escolheu um valor redondo e plausível sem substituir na equação; provavelmente confundiu r com a altura h = 3r ou com o número 3 do enunciado, sem verificar se 3 * pi * 3^3 resulta em 72.
Por que engana: O aluno pode usar incorretamente a área da base triangular como volume ou esquecer que a altura do cilindro é 3r, obtendo uma equação diferente para o raio.
Fez uma estimativa por tentativa sem checar o volume resultante; um raio de 2,5 m daria volume de cerca de 147 m^3, e o aluno não comparou com os 72 m^3 do prisma.
Achou r = H/pi, relacionando diretamente a altura do prisma (4 m) com pi e ignorando que o volume do cilindro depende de r^3 e do fator 3.
Volume do prisma = A_base·H = 18·4 =72 m³. Volume do cilindro V=p r^2 h=p r^2(3r)=3p r^3. Igualando: 3p r^3=72 ? r^3=24/p ? r=(24/p)^{1/3} ˜1,97 m.
Raio-X da questão
Volume de sólidos geométricos
avaliacao
Fórmulas de volume de sólidos · Resolução de equações cúbicas
Revise as fórmulas dos volumes do cilindro e do prisma e a resolução de equações cúbicas.
O aluno pode usar incorretamente a área da base triangular como volume ou esquecer que a altura do cilindro é 3r, obtendo uma equação diferente para o raio.
tomada_decisao
abstrato
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