No plano cartesiano, considere o triângulo com vértices A(1,1), B(7,1) e C(4,5). Determine o ponto médio de BC…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No plano cartesiano, considere o triângulo com vértices A(1,1), B(7,1) e C(4,5). Determine o ponto médio de BC e o comprimento da mediana que parte de A até BC.
- A) M_BC=(11/2,3); comprimento da mediana AM = v97/2
- B) M_BC=(4,5); comprimento da mediana AM = 5
- C) M_BC=(3,4); comprimento da mediana AM = v50
- D) M_BC=(5,3); comprimento da mediana AM = 10
- E) M_BC=(7,1); comprimento da mediana AM = 8
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvi a questão sem usar o gabarito. O ponto médio de BC é a média das coordenadas de B(7,1) e C(4,5): x = (7+4)/2 = 11/2 e y = (1+5)/2 = 3. Logo M_BC = (11/2, 3).
- A mediana que parte de A é o segmento AM, com M = (11/2, 3). Pela fórmula da distância entre dois pontos, d = raiz de [(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2].
- Calculando com A(1,1): diferença em x = 11/2 - 1 = 9/2 e diferença em y = 3 - 1 = 2. Então AM^2 = (9/2)^2 + 2^2 = 81/4 + 16/4 = 97/4, e AM = raiz de 97 / 2.
- Portanto a alternativa A está correta, com M_BC = (11/2, 3) e comprimento AM = raiz de 97 / 2. Isso coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B usa o próprio vértice C como ponto médio; C e D trazem médias que não correspondem às coordenadas de B e C; E usa o vértice B como se fosse o ponto médio de BC.
💡 Dica: Calcule o ponto médio e use a fórmula da mediana.
Alternativa por alternativa
M_BC = ((7+4)/2,(1+5)/2)=(11/2,3). Vetor AM=(9/2,2) ? |AM|=v((9/2)²+2²)=v(81/4+4)=v(97/4)=v97/2.
Confunde o ponto médio de BC com o próprio vértice C(4,5) e calcula a distância de A até C, em vez de até o ponto médio.
Por que engana: Confundir as coordenadas do ponto médio, calculando incorretamente a média das coordenadas dos vértices B e C.
Erra a média das coordenadas de B e C, obtendo (3,4), e depois erra também o cálculo da distância até A, chegando a raiz de 50.
Calcula corretamente o y do ponto médio, mas trunca 11/2 para 5, obtendo (5,3); o comprimento 10 não decorre da fórmula da distância.
Toma o vértice B(7,1) como se fosse o ponto médio de BC, sem fazer a média das coordenadas de B e C.
Raio-X da questão
mediana de triângulo
avaliacao
ponto médio de um segmento · teorema de Pitágoras
Revisar as propriedades das medianas em triângulos.
Confundir as coordenadas do ponto médio, calculando incorretamente a média das coordenadas dos vértices B e C.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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