Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 2x+1 cm, um cateto mede x+2 cm e o outro cateto mede 9 cm…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 2x+1 cm, um cateto mede x+2 cm e o outro cateto mede 9 cm. Determine o valor positivo de x, resolvendo a equação resultante.
- A) x = 0
- B) x = 5
- C) x = 3
- D) x = 2v7 ˜ 5,2915
- E) x = 1
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Como a hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo, aplicamos o teorema de Pitágoras: (hipotenusa)^2 = (cateto 1)^2 + (cateto 2)^2. Logo, (2x+1)^2 = (x+2)^2 + 9^2. Passo 2: Desenvolvendo os quadrados: 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 4x + 4 + 81. Passo 3: Simplificando, 4x^2 + 4x + 1 = x^2 + 4x + 85. Subtraindo x^2 + 4x + 85 dos dois lados, obtemos 3x^2 - 84 = 0, ou seja, 3x^2 = 84. Passo 4: Dividindo por 3, x^2 = 28. Como x deve ser positivo, x = raiz de 28 = 2 raiz de 7, que é aproximadamente 5,2915. Passo 5: Conferência: para x = 2 raiz de 7, temos 2x+1 = 11,583 e x+2 = 7,2915. Então 7,2915^2 + 81 = 53,17 + 81 = 134,17, e 11,583^2 = 134,17, o que confirma a resposta. Passo 6: Por que as outras estão erradas: x = 0 torna a hipotenusa 1 cm, menor que o cateto de 9 cm; x = 5 daria 121 = 49 + 81, o que é falso (130); x = 3 daria 49 = 25 + 81, o que é falso (106); x = 1 daria a hipotenusa de 3 cm, menor que o cateto de 9 cm. O gabarito D está correto.
💡 Dica: Aplique o teorema de Pitágoras para resolver a equação.
Alternativa por alternativa
Imagina que a equação se reduz a 3x^2 = 0 ou que os termos constantes se anulam, sem verificar a condição de que a hipotenusa deve ser maior que os catetos.
Aproxima x^2 = 28 para x^2 = 25 e assume x = 5, sem verificar a igualdade exata; com x = 5 a soma 49 + 81 = 130 não é igual a 121.
Por que engana: Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
Confunde o termo 9 (cateto) com x^2 e iguala x^2 = 9, ignorando os demais termos da equação; com x = 3 a relação 25 + 81 = 49 não se verifica.
Pelo teorema de Pitágoras: (x+2)²+9²=(2x+1)² ? x²+4x+4+81=4x²+4x+1 ? 3x²-84=0 ? x²=28 ? x=2v7 (valor positivo).
Não percebe que a hipotenusa precisa ser o maior lado; com x = 1 a hipotenusa mediria 3 cm, menor que o cateto de 9 cm, o que é impossível num triângulo retângulo.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · resolução de equações
Revisar o teorema de Pitágoras e resolução de equações.
Confundir a relação entre os lados do triângulo retângulo, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras.
ciencia_tecnologia
tomada_decisao
abstrato
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