No triângulo retângulo ABC com ?C = 90° traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, encontrando H. Sabe-se AH =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo retângulo ABC com ?C = 90° traça-se a altura CH até a hipotenusa AB, encontrando H. Sabe-se AH = 6 cm e HB = 24 cm. (a) Determine o comprimento da hipotenusa AB e dos catetos AC e BC. (b) Calcule o comprimento da altura CH. (c) Usando semelhança de triângulos, deduza as relações AC² = AB·AH, BC² = AB·HB e CH² = AH·HB.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Hipotenusa: AB = AH + HB = 6 + 24 = 30 cm. 2) Pelas relações métricas obtidas via semelhança (demonstradas abaixo): AC² = AB·AH ? AC = v(30·6) = v180 = 6v5 cm. BC² = AB·HB ? BC = v(30·24) = v720 = 12v5 cm. 3) Altura: CH² = AH·HB = 6·24 = 144 ? CH = 12 cm. Demonstração por semelhança: Traçando CH, obtêm-se três triângulos retângulos semelhantes: ?ABC ~ ?ACH ~ ?CHB. Da similaridade ?ABC ~ ?ACH vem AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. Da similaridade ?ABC ~ ?CHB vem BC/AB = HB/BC ? BC² = AB·HB. Da similaridade ?ACH ~ ?CHB vem CH/ AH = HB / CH ? CH² = AH·HB. Essas proporções justificam as fórmulas usadas e os valores numéricos calculados acima.
Explicação
Os cálculos realizados utilizam as relações de semelhança entre os triângulos formados, permitindo determinar os comprimentos dos lados e da altura do triângulo retângulo. A soma dos segmentos AH e HB resulta na hipotenusa AB, enquanto as relações AC² = AB·AH e BC² = AB·HB são derivadas da semelhança dos triângulos. A altura CH é obtida pela relação CH² = AH·HB, que também se fundamenta na semelhança, garantindo a consistência dos resultados.
Raio-X da questão
triângulo retângulo e semelhança
avaliacao
teorema de Pitágoras · semelhança de triângulos
Revisar propriedades de triângulos retângulos e semelhança de triângulos.
O aluno pode confundir as relações de semelhança e aplicar incorretamente o teorema de Pitágoras, resultando em valores errados para os catetos.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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