Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida pela altura ao vértice do ângulo reto, que em um triângulo…

Questão

Demonstre, usando semelhança de triângulos obtida pela altura ao vértice do ângulo reto, que em um triângulo retângulo ABC com ?C = 90° e H a projeção de C sobre AB vale CH² = AH·HB. Apresente a demonstração passo a passo.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Considere ?ABC com ?C = 90° e H projeção de C sobre AB. Traçando CH formam-se os triângulos ?ACH, ?BCH e ?ABC, todos semelhantes dois a dois: ?ACH ~ ?ABC e ?BCH ~ ?ABC. Da semelhança ?ACH ~ ?ABC temos AC/AB = AH/AC ? AC² = AB·AH. (1) Da semelhança ?BCH ~ ?ABC temos BC/AB = BH/BC ? BC² = AB·BH. (2) Multiplicando (1) e (2): AC²·BC² = (AB·AH)·(AB·BH) = AB²·AH·BH. Mas AC²·BC² = (AC·BC)² e, pela fórmula da altura em triângulo retângulo, CH = (AC·BC)/AB (pois CH é a média geométrica entre projeções dos catetos na hipotenusa), então CH² = (AC·BC)²/AB². Comparando com a igualdade anterior, obtemos CH² = AH·BH. Alternativamente, dividir as igualdades (1) e (2): (AC²)/(BC²) = (AH)/(BH) e usando AC·BC = AB·CH (produto dos catetos = hipotenusa·altura) chega-se também a CH² = AH·BH. Portanto, CH = v(AH·HB), o que prova a relação desejada.

Explicação

A demonstração utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo retângulo e suas projeções, permitindo derivar a relação CH² = AH·HB. A utilização da média geométrica entre as projeções dos catetos na hipotenusa também fundamenta a conclusão. Assim, a resposta mostra de forma clara e lógica como a relação entre os segmentos se mantém verdadeira no contexto do triângulo retângulo.

Raio-X da questão

Questões parecidas com resolução

• Uma equipe vai renovar o piso de duas salas retangulares de um espaço de jogos. No plano A, a sala mede 16 m por 11 m…
• Uma artesã monta mosaicos quadrados com peças iguais. Ao aumentar cada lado de 4 para 8 peças, ela mantém o formato…
• Em um aplicativo de arte digital, Lia calcula a medida de um segmento a partir dos valores 9 e 12. Ela afirma: “A raiz…
• Uma escola vai preparar um canteiro retangular de 8 m por 5 m. Em um dos cantos, uma área retangular de 3 m por 2 m será…
• Na escola, uma sala retangular será revestida com um tipo de piso que cobre 1 m^2 por unidade. A sala mede 6 m de…
• Para organizar uma exposição, uma escola usará um painel retangular com 2,4 m de comprimento e 1,5 m de largura. O…

Todas as questões de Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros