Seja uma circunferência de centro O. Suponha que os arcos menores AB e CD têm a mesma medida a e que AB = 10…

Questão

Seja uma circunferência de centro O. Suponha que os arcos menores AB e CD têm a mesma medida a e que AB = 10. (a) Prove que os triângulos ?AOB e ?COD são congruentes e, a partir disso, conclua que CD = 10. (b) Mostre que os triângulos formados pelos extremos dos arcos com um ponto qualquer da circunferência são semelhantes e descreva a relação entre as respectivas cordas.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Como os arcos AB e CD têm mesma medida a, os ângulos centrais ?AOB e ?COD medem ambos a. Nos triângulos ?AOB e ?COD temos AO = CO = R e BO = DO = R (raios) e ?AOB = ?COD = a; por SAS, ?AOB ? ?COD, logo AB = CD e, portanto, CD = 10. Para (b), tome P qualquer na circunferência; os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais, então os pares de ângulos correspondentes dos triângulos APB e CPD (por exemplo) coincidem, estabelecendo similaridade; geometricamente, cords correspondentes em arcos iguais são congruentes e em arcos proporcionais têm razões iguais às razões dos arcos/ângulos subtendidos.

Explicação

Os triângulos AOB e COD são congruentes pelo critério SAS, pois possuem dois lados iguais (raios da circunferência) e o ângulo central correspondente. Isso garante que as cordas AB e CD também são iguais, resultando em CD = 10. Além disso, a similaridade dos triângulos formados pelos extremos dos arcos com um ponto na circunferência se baseia na igualdade dos ângulos inscritos, o que implica que as cordas correspondentes mantêm uma proporção direta com os arcos que interceptam.

Raio-X da questão

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