MatemáticaENEMBNCC EM13MAT308Difícil⏱ medio

(Dissertativa) Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente no ponto P. Sabe-se que AP…

Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva

Habilidade BNCC EM13MAT308

Aplicar as relações métricas, incluindo as leis do seno e do cosseno ou as noções de congruência e semelhança, para resolver e elaborar problemas que envolvem triângulos, em variados contextos.

Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).

Questão

(Dissertativa) Em uma circunferência, as cordas AC e BD intersectam-se internamente no ponto P. Sabe-se que AP = 4 cm, PB = 6 cm e PC = 3 cm. Determine PD e justifique a resolução usando semelhança de triângulos e relações entre arcos/ângulos inscritos.

✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.

Resposta esperada

Ao traçar as cordas AC e BD que se cruzam em P, considere os triângulos ?APB e ?CPD. Observa-se: ?APB e ?CPD são opostos pelo vértice (iguais) e ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são correspondentes, logo ?APB ~ ?CPD. Da semelhança vêm as proporções entre lados correspondentes: AP/DP = PB/PC. Rearranjando, AP·PC = PB·PD, que é a relação clássica do produto dos segmentos das cordas. Substituindo os valores: 4·3 = 6·PD ? 12 = 6·PD ? PD = 12/6 = 2 cm. Portanto PD = 2 cm, com a justificativa baseada na semelhança de triângulos formados pelas cordas que se intersectam e na consequência algébrica dessa semelhança.

Explicação

A relação entre os segmentos das cordas que se cruzam é fundamentada na semelhança dos triângulos formados, onde ângulos opostos pelo vértice e ângulos correspondentes são iguais. A proporção resultante entre os lados dos triângulos permite estabelecer uma equação que relaciona os segmentos, levando à determinação do comprimento de PD. A aplicação dessa propriedade garante que a solução encontrada é válida e consistente com as propriedades geométricas da circunferência.

Raio-X da questão

Dificuldade Difícil

Bloom Criar

Leitura medio

Discriminação alto

Peso pedagógico alto

Autonomia do enunciado completo

Cobertura da habilidade multipla

🧪 Simulado🩺 Diagnóstico🧮 Exige cálculo🏠 Cotidiano🔗 Interdisciplinar⭐ Representativa✍️ interpretativa🧩 desafio

🎯 Conceito central

semelhança de triângulos

📌 Objetivo

avaliacao

🧱 Pré-requisitos

semelhança de triângulos · propriedades de circunferências

📚 Reveja

Revisar as propriedades de semelhança de triângulos e relações de arcos em circunferências.

⚠️ Erro mais comum

O aluno pode confundir as relações de segmentos de cordas com as relações de segmentos de secantes, aplicando a fórmula errada para encontrar PD.

🌎 Tema transversal

ciencia_tecnologia

🤝 Socioemocional

pensamento_critico

🏫 Contexto

cientifico

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