No triângulo ABC, o ângulo em C é reto. A altura CH é traçada de C até a hipotenusa AB, encontrando-a em H…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo ABC, o ângulo em C é reto. A altura CH é traçada de C até a hipotenusa AB, encontrando-a em H. Prove que CH² = AH · HB.
✍️ Questão dissertativa: veja abaixo a resposta esperada e a explicação.
Resposta esperada
Considere ?ABC com ?C = 90° e altitude CH sobre AB. Observe que ?ACH e ?ABC são semelhantes (ângulos em A e H correspondem a A e C em ABC), portanto AC/AB = AH/AC, ou AC² = AB·AH. De modo análogo, ?CHB ~ ?ABC implica BC² = AB·BH. Multiplicando essas igualdades: AC²·BC² = AB²·AH·BH. Por outro lado, pela semelhança ?CHB ~ ?ABC obtém-se CH/BC = AC/AB, logo CH = (AC·BC)/AB. Elevando ao quadrado: CH² = (AC²·BC²)/AB². Substituindo a relação obtida anteriormente resulta CH² = AH·BH, como se queria demonstrar.
Explicação
A resposta utiliza a semelhança de triângulos para estabelecer relações entre os lados do triângulo e suas alturas. A multiplicação das igualdades obtidas a partir das semelhanças leva à relação desejada entre a altura e os segmentos da hipotenusa. A substituição final demonstra que a expressão CH² é equivalente ao produto AH · HB, completando a prova.
Raio-X da questão
teorema de Pitágoras
avaliacao
teorema de Pitágoras · propriedades de triângulos
Revisar as propriedades dos triângulos retângulos e o Teorema de Pitágoras.
O aluno pode confundir a relação entre os segmentos AH, HB e CH, aplicando incorretamente o teorema de Pitágoras sem considerar a altura.
ciencia_tecnologia
pensamento_critico
cientifico
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